Упражнения
TASK 1
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AA1 = 1; CD = 2; AD = 2. Найдите длину диагонали CA1.
END out :
END
РЕШЕНИЕ 1
Найдем диагональ прямоугольника ABCD. По теореме Пифагора
p
AC = (AD2 + CD2)
Рассмотрим прямоугольный треугольник AA1C. По теореме Пифагора
p
CA1 = (AC2 + AA12); out :
3
TASK 2
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны a = 1. Найдите расстояние между точками B и E.
END out :
END
РЕШЕНИЕ 2 Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удво-
енной стороне. Поэтому b = a 2
out :
2
TASK 3
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами a = 6 и b = 8. Площадь ее поверхности равна S = 288.
26
Найдите высоту призмы.
END out :
END
РЕШЕНИЕ 3 Гипотенуза основания равна
p
c = (a2 + b2), высоту найдем из выражения для площади поверхности
S1 = (a b)=2;
P = a + b + c;
h = (S 2 S1)=P out :
10
TASK 4
Вправильной треугольной пирамиде SABCD; Q – середина ребра AB, S
–вершина. Известно, что BC = 5, а SP = 6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
END out :
END
РЕШЕНИЕ 4
Отрезок SP является медианой равнобедренного треугольника SAB, а значит, и его высотой. Тогда
AB = BC;
S1 = (AB SP )=2;
S = 3 S1 out :
45
TASK 5
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO = 8; BD = 30. Найдите боковое ребро SC
END out :
END
27
РЕШЕНИЕ 5 В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следо-
вательно SO является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора
BO = BD=2;
p
SB = (SO2 + BO2); SA = SB
out :
17
TASK 6
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SB = 13; AC = 24. Найдите длину отрезка SO
END out :
END
РЕШЕНИЕ 6 В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следо-
вательно SO является высотой пирамиды. тогда по теореме Пифагора
BO = AC=2;
p
SO = (SB2 BO2) out :
5
TASK 7
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которогоAB = 4; AD = 3; AA1 = 4;
END out :
END
РЕШЕНИЕ 7 Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания па-
реллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому
V = (AB AD AA1)=6 out :
8
28
TASK 8
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны
a = 2; b = 6. Объем параллелепипеда равен
V = 48 Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
END out :
END
РЕШЕНИЕ 8 Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измере-
ний. Поэтому можем вычислить искомое ребро c = V=(a b)
out :
4
29