[2; 4; 4; 4; 0; 0; 0; 0]); showPlots([p1; p2; p3];0 noAxes0);
Рис. 1.10: Прямоугольный Параллелепипед
1.3Свойства параллельных сечений в пирамиде
1.3.1Теоремы о сечениях в пирамиде
Если пирамида (1.11) пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:
1)боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
2)в сечении получается многоугольник (abcde), подобный основанию;
3)площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
1)Прямые ab и AB можно рассматривать как линии пересечения двух параллельных плоскостей (основания и секущей) третьей плоскостью ASB; поэтому abkAB. По этой же причине bckBC,cdkCD.... и amkAM; вследствие этого
aASa = bBSb = cCSc = ::: = mMSm :
17
2) Из подобия треугольников ASB и aSb, затем BSC и bSc и т. д. выводим:
ABab = BSbS ; BSbS = BCbc ;
откуда
ABab = BCbc :
Так же
BCbc = CScS ; CScS = CDcd ;
откуда
BCbc = CDcd
Так же докажем пропорциональность остальных сторон многоугольников ABCDE и abcde.Так как, сверх того, у этих многоугольников равны соответственные углы (как образованные параллельными и одинаково направленными сторонами), то они подобны. Площади подобных многоугольников относятся, как квадраты сходственных сторон; поэтому
ABCDE |
|
AB2 |
AB |
|
||
|
= |
|
= ( |
|
)2 |
; |
abcde |
ab2 |
|
||||
|
|
ab |
|
|||
но
ABab = ASas = MmsS ;
значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCDE |
= ( |
MS |
)2 = |
MS2 |
: |
||||
|
|
|
abcde |
|
|
ms |
ms2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
set2D(1; 9; 1; 14); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 = tablePlot( |
4 |
1 |
5 |
9 |
4 |
5 |
); |
|
|
||
1 |
3 |
14 |
3 |
1 |
14 |
|
|
||||
p2 |
= tablePlot( |
3:3 |
4:5 |
6:9 |
|
); |
|
|
|
|
||
|
= tablePlot( |
9 |
|
8 |
|
9 |
|
|
|
|
|
;0 dash0); |
p3 |
9 |
7 |
3 |
1 |
6 |
5 |
7 |
3 |
5 |
|||
3 |
5 |
5 |
3 |
3 |
14 |
5 |
5 |
14 |
||||
|
= tablePlot( |
: |
|
: |
4:1 |
5:9 6:9 |
;0 dash0); |
|||||
p4 |
595 |
393 |
10 |
|
10 |
|
9 |
|||||
18
|
|
|
Рис. 1.11: Пирамида |
|
|
|
|||
p5 = pointsPlot( |
1 |
4 |
9 |
7 |
3 |
3:3 4:5 7 |
6 6 |
5:5 5 |
; |
3 |
1 |
3 |
5 |
5 |
9 8 9 |
10 3 |
9 14 |
||
[0A0;0 B0;0 C0;0 D0;0 E0;0 a0;0 b0;0 c0;0 d0;0 M0;0 m0;0 S0];
[6; 4; 2; 2; 7; 6; 5; 2; 2; 2; 11; 0]); showPlots([p1; p2; p3; p4; p5];0 noAxes0);
1.3.2Следствие
У правильной усеченной пирамиды верхнее основание есть правильный многоугольник, подобный нижнему основанию, а боковые грани суть равные и равнобочные трапеции (1.11).
Высота любой из этих трапеций называется апофемой правильной усеченной пирамиды.
1.3.3Теорема о параллельном сечении в пирамиде
Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.
19
Пусть (1.12) B и B1 площади оснований двух пирамид, H высота каждой из них, b и b1 площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удаленными от вершин на одно и то же расстояние h.
Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:
|
|
|
|
b |
|
|
h2 |
|
b1 |
|
|
|
h2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 B1 |
H2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b1 |
|
b |
|
|
|
B |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
B |
B b |
1 |
|
B |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
set2D( 2; 36; 2; 23); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 = tablePlot( |
0 |
7 |
|
|
10 |
|
0 |
10 |
|
|
13 |
|
|
|
7 |
); |
|||||||||
0 |
23 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
5 |
|
|
|
23 |
||||||||||||
p2 = tablePlot( |
25 |
22 |
27 |
|
|
25 |
34 |
27 |
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
5 |
|
23 |
|
|
0 |
|
|
|
5 |
23 ); |
|||||||||||||
|
11:9 |
23:1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p3 = tablePlot( |
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12:3 |
22:6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
p4 = tablePlot( |
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9:3 |
25:2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p5 = tablePlot( |
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
13 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3:8 |
8:4 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p6 = tablePlot( |
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12 |
|
12 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
24:6 |
26 |
|
30:3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
p7 = tablePlot( |
|
|
|
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
14 |
12 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7 |
7 |
2 |
|
2 |
7 |
|
7 |
|
|
||||||||||||||||
p8 = tablePlot( |
2 |
1 |
2 |
|
33 |
|
36 |
33 |
|
); |
|||||||||||||||
p9 = tablePlot( |
7 |
27 |
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
23 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p10 = tablePlot( |
19 |
19 |
;0 arrow0); |
|
15 |
23 |
|
p11 = tablePlot( |
14 |
14 |
;0 arrow0); |
16:6 |
13 |
p12 = tablePlot( |
19 |
19 |
;0 arrow0); |
12:6 |
3 |
p13 = tablePlot( |
14 |
14 |
;0 arrow0); |
|
19 |
23 |
|
p14 = tablePlot( |
0 |
4 |
7 |
;0 dash0); |
|
0 |
5 |
23 |
|
20