Рис. 2.3: Параллелепипед

[0A0;0 B0;0 C0;0 D0;0 A10;0 B10;0 D10;0 Q10;0 Q20];

[5; 2; 0; 6; 6; 2; 3; 4; 0]);

showPlots([p1; p2; p3; p4; p5];0 noAxes0);

2.1.2Следствие.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, служащие сторонами его основания, выражаются числами a и b, а третье измерение (высота) числом c. Тогда, обозначая объем его в соответствующих кубических единицах буквой V , можем написать

V = abc:

Так как произведение ab выражает площадь основания, то можно сказать, что объем, прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Замечание. Отношение двух кубических единиц раз-

36

Рис. 2.4: Разбитый надвое Параллелепипед

ных названий равно третьей степени отношения тех линейных единиц, которые служат ребрами для этих кубических единиц. Так, отношение кубического метра к кубическому дециметру равно 103, т.е. 1000. Поэтому, например, если мы имеем куб с ребром длиной a линейных единиц и другой куб с ребром длиной 3a линейных единиц, то отношение их объемов будет равно 33, т.е. 27, что ясно видно из (2.5).

37

2 8 8

p8 = tablePlot( 8 8 2 );

showPlots([p1; p2; p3; p4; p5; p6; p7; p8];0 noAxes0);

Рис. 2.5: Куб

2.1.3Лемма о наклонной призме

Наклонная призма равновелика такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота ее боковому ребру. Пусть дана наклонная призма ABCDA1B1C1D1 (2.6). Продолжим все ее боковые ребра и боковые грани в одном направлении. Возьмем на продолжении одного какого-нибудь ребра произвольную точку и проведем через нее перпендикулярное сечение abcde. Затем, отложив aa1 = AA1, проведем через a1 перпендикулярное сечение a1b1c1d1e1. Так как плоскости обоих сечений параллельны, bb1 = cc1 = dd1 = ee1 = aa1 = AA1. Вследствие этого многогранник a1d , у которого за основания приняты проведенные нами сечения, есть прямая призма. Докажем, что данная наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a1D1 равны. Основания их abcde и a1b1c1d1e1 равны как основание призмы a1d; с другой стороны, прибавив к обеим частям равенства A1A = a1a по одному и тому же отрезку прямой A1a, получим aA = a1A1, подобно этому bB = b1B1; cC = c1C1 и т.д. Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в многогранник a1D1 так, что основания их совпали; тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут; поэтому многогранник aD совместится с многогранником a1D1;

38

значит, эти тела равны. Теперь заметим, что если к прямой призме a1d добавим многогранник aD, a к наклонной призме a1D добавим многогранник a1D1, равный aD, то получим один и тот же многогранник a1D. Из этого следует, что две призмы A1D и a1d равновелики.

[0A10;0 B10;0 C10;0 D10;0 E10]; [6; 1; 3; 1; 1]);

[0a10;0 b10;0 c10;0 d10;0 e10]; [5; 4; 3; 1; 1]);

showPlots([p1; p2; p3; p4; p5; p6; p7; p8; p9; p10; p11];0 noAxes0);

2.1.4Теорема об объёме параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоугольного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом инаклонного. 1) Пусть (2.7) AC1 прямой параллелепипед, т.е. такой, у которого основание ABCD какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани пря-

39

Рис. 2.6: Зеркальная призма

моугольники. Возьмем в нем за основание боковую грань AA1B1B; тогда параллелепипед будет наклонный. Рассматривая его как частный случай наклонной призмы, мы на основании леммы предыдущего параграфа можем утверждать, что этот параллелепипед равновелик такому прямому параллелепипеду, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNP Q, а высота BC. Четырехугольник MNP Q - прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов; поэтому прямой параллелепипед, имеющий основанием прямоугольник MNP Q, должен быть прямоугольным и, следовательно, его объем равен произведению трех его измерений, за которые можно принять отрезки MN; MQ и BC. Таким образом,

AC1 = MN MQ BC = MN (MQ BC):

Но произведение MQ*BC выражает площадь параллелограмма ABCD, поэтому

AC1 = (ABCD) MN = (ABCD) BB1:

2) Пусть (2.8) AC1 наклонный параллелепипед. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение MNP Q (т.е. перпендикулярное к ребрам AD; BC,...), а высотой ребро BC. Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту; значит,

AC1 = (MNP Q) BC:

40

Если RS есть высота сечения MNP Q, то площадь MNP Q равна MQ RS, поэтому

AC1 = MQ RS BC = (BC MQ) RS:

Произведение BC MQ выражает площадь параллелограмма ABCD следовательно, объем AC1 = (ABCD) RS. Остается теперь доказать, что отрезок RS представляет собой высоту параллелепипеда. Действительно, сечение MNP Q, будучи перпендикулярно к ребрам BC; B1C1,..., должно быть перпендикулярно к граням ABCD, BB1C1C, ..., проходящим через эти ребра. Поэтому если мы из точки S восставим перпендикуляр к плоскости ABCD, то он должен лежать весь в плоскости MNP Q и, следовательно, должен слиться с прямой SR, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к MQ. Значит, отрезок SR есть высота параллелепипеда. Таким образом, объем и наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Следствие: Если V; B и H суть числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту параллелепипеда, то можно написать:

V = BH:

41

Рис. 2.7: Прямой параллелепипед

[0A0;0 B0;0 C0;0 D0;0 A10;0 B10;0 C10;0 D10;0 P 0;0 N0;0 M0;0 Q0;0 R0;0 S0];

[5; 4; 2; 2; 0; 4; 2; 0; 0; 1; 4; 1; 0; 5]); showPlots([p1; p2; p3; p4; p5; p6];0 noAxes0);

42

Рис. 2.8: Наклонный параллелепипед

43