4. Пересечение плоскостей общего положения

Две плоскости пересекаются по прямой линии. А поскольку прямая определяется двумя точками, построение линии пересечения плоскостей сводится к нахождению проекций двух ее точек.

С этой целью применяют способ вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих данные поверхности (плоскости) по соответствующим прямым.

ПРИМЕР. На рис. 38, 39 изображены плоскости общего положения a b и E,F,K, для которых требуется найти линию пересечения.

Нахождение общих для плоскостей  и  двух точек МиNпроводится введением двух горизонтальных плоскостей  и .

Рис. 38 Рис. 39

Рис. 40 Рис. 41

а) Введение первой вспомогательной горизонтальной плоскости (рис. 40, 41).

Плоскость  пересекает плоскости  и  по горизонталям h₁(прямая 1-2) иh₂(прямая 3-4).

Прямые 1-2 и 3-4 пересекаются в точке М, общей для плоскостей  и  , следовательно, принадлежащей линии пересечения этих плоскостей (рис. 40, 41).

б) Введение второй вспомогательной горизонтальной плоскости (рис. 42, 43).

Плоскость  пересекает плоскости  и  по горизонталям h₃ (прямая 5-6) иh₄(прямая 7-8).

Рис. 42 Рис. 43

Прямые 5-6 и 7-8 пересекаются в точке N, общей для плоскостей  и  , следовательно, также принадлежащей линии пересечения этих плоскостей (рис. 42, 43).

Рис. 44 Рис. 45

Соединив найденные точки МиN, получим искомую линию пересечения плоскостей  и  (рис. 44, 45).

5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая: 1. прямая лежит в плоскости;

2. прямая параллельна плоскости;

3. прямая пересекает плоскость.

Прямая — в плоскости (рис. 46)

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки данной плоскости.

Прямая, параллельная плоскости (рис. 47)

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости или принадлежит плоскости, параллельной данной.

Рис. 46 Рис. 47

Прямая пересекает плоскость (рис. 48)

Если прямая имеет с плоскостью одну общую точку, она пересекает данную плоскость.

Рис. 48

6. Пересечение прямой линии с плоскостью

На рис. 49, 50 изображены плоскость  (АВС) и пересекающаяся с ней прямая f.

Рис. 49 Рис. 50

Для определения точки встречи прямой с плоскостью необходимо выполнить следующие операции:

1) провести через прямую вспомогательную проецирующую плоскость;

2) найти линию пересечения данной плоскости со вспомогательной плоскостью;

3) определить точку пересечения данной прямой с найденной линией пересечения плоскостей.

1 Этап (рис. 51, 52)

Рис. 51 Рис. 52

Проведем через прямую f вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость . Ввиду собирательного свойства проецирующих плоскостей горизонтальный след этой плоскости совпадет с горизонтальной проекцией прямой f (f').

2 Этап (рис. 53, 54)

Находим линию пересечения двух плоскостей: данной (ABC) и вспомогательной  — прямую t.

По горизонтальной проекции t' определяем фронтальную проекцию t''.

Рис. 53 Рис. 54

3 этап (рис. 55, 56)

Определяем точку пересечения найденной линии пересечения плоскостей t с данной прямой f.

Рис. 55 Рис. 56

Сначала на пересечении фронтальных проекций прямых f и t (f''t'') определяем фронтальную проекцию точки их пересеченияK''.

Затем по линии связи находим ее горизонтальную проекцию K'.

Точка K, принадлежащая как плоскости  (АВС), так и плоскости , будет искомой точкой встречи прямой f с плоскостью 