4. (Формула полной вероятности, формула Байеса)

1. В первом ящике 4 белых и 5 черных шаров, во втором – 5 белых и 4 черных, в третьем – 6 белых. Из наудачу выбранного ящика вынимаем шар. Найти вероятность того, что: 1) этот шар белый, 2) белый шар вынут из второго ящика.

2. Вероятность брака для станка №1 составляет 0,03, для станка №2 – 0,02. Производительность 1-го станка в два раза больше, чем 2-го. Найти вероятность того, что: 1) наугад взятая деталь будет стандартной, 2) наугад взятая стандартная деталь изготовлена на первом станке.

3. Вероятность брака для станка №1 составляет 0,04, для станка №2 – 0,03. Производительность 1-го станка в три раза больше, чем 2-го. Найти вероятность того, что: 1) наугад взятая деталь будет стандартной, 2) наугад взятая стандартная деталь изготовлена на первом станке.

4. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велогонщиков и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификацию такова: для лыжника – 0,9, для велогонщика – 0,8, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен: 1) выполнит норму, 2) прошедший квалификацию спортсмен - лыжник.

5. На избирательную комиссию поступило 1500 бюллетеней с участка №1, 2500 с участка №2, 3000 с участка №3. Среди бюллетеней с участка №1 90% действительных, с участка №2 – 80%, с участка №3 – 70%. Найти вероятность того, что: 1) наугад взятый бюллетень окажется недействительным, 2) выбранный действительный бюллетень окажется с 1-го участка.

6. Однотипные приборы выпускаются 3 заводами в отношении 3:4:5. Вероятность брака для этих заводов соответственно 0,04, 0,05, 0,03. Приобретенный прибор оказался бракованным. Найти вероятность того, что он изготовлен 3-м заводом.

7. Однотипные приборы выпускаются 3 заводами в отношении 3:6:5. Вероятность брака для этих заводов соответственно 0,06, 0,04, 0,05. Приобретенный прибор оказался бракованным. Найти вероятность того, что он изготовлен 2-м заводом.

8. Три цеха производят однотипные детали. Первый цех производит изделий в 2 раза больше второго цеха и в 3 раза больше третьего. В первом цехе брак составляет 6%, во втором – 10%, в третьем – 14%. Какова вероятность того что: 1) наудачу взятое изделие окажется стандартным, 2) наудачу взятое стандартное изделие изготовлено в 1-м цехе.

9. На склад поступило 3 партии изделий: первая 1500 штук, вторая – 2500 штук, третья – 3000 штук. Брак в партиях составляет соответственно 10%, 8% и 5%. Найти вероятность того, что: 1) наудачу взятое изделие оказалось стандартным, 2) наудачу взятое бракованное изделие из 1-й партии.

10. На предприятии, изготавливающим замки, первый цех производит 25%, второй – 35%, третий – 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Найти вероятность того, что: 1) наудачу взятый замок будет бракованным, 2) наудачу взятый бракованный замок изготовлен во втором цехе.

5. (Повторение испытаний)

1. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: 1) менее 2 раз, 2) не менее 2 раз.

2. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6.

3. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 4 раз в 5 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,8.

4. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при трех испытаниях равна 0,936. Найти вероятность наступления события при одном испытании.

5. Вероятность поражения цели хотя бы одной пулей при 4 независимых выстрелах равна 0,59. Какова вероятность поражения цели при одном выстреле?

6. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей не более 2 нестандартных.

7. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: 1) не более одного потребует ремонта, 2) хотя бы один не потребует ремонта.

8. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 1/7. Найти вероятность выиграть не менее чем по двум билетам из шести.

9 Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 1/9. Найти вероятность выиграть не менее чем по трем билетам из шести.

10. Найти вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, не менее двух девочек. Предполагается, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковые.

VI.

1. Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,1. Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях оно появится: 1) не менее двух раз, 2) хотя бы один раз.

2. Игральную кость подбрасывают 3 раза. Найти вероятность того, что дважды появится число очков, кратное трем.

3. Случайно встреченное лицо может оказаться с вероятностью 0,2 брюнетом, в вероятностью 0,3 блондином, с вероятностью 0,4 шатеном и с вероятностью 0,1 – рыжим. Найти вероятность того, что среди трех случайно встреченных лиц: 1) не менее двух брюнетов, 2) один блондин и два шатена, 3) хотя бы один рыжий.

4. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 4 раз в 5 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5.

5. В квартире 4 электролампочки. Для каждой вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 5/6. Найти вероятность того, что в течение года исправными останется не менее половины лампочек.

6. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.

7. В ящике имеется по одинаковому числу деталей, изготовленных заводами 1 и 2. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу отобранных деталей изготовлены заводом № 1: 1) две детали, 2) менее двух деталей.

8. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров: 1) не более одного потребует ремонта, 2) хотя бы один не потребует ремонта.

9. В ящике лежат несколько тысяч одинаковых предохранителей. Половина из них изготовлена I заводом, другая – II. Наудачу достали 5 предохранителей. Найти вероятность того, что I заводом из них изготовлены: 1) два предохранителя, 2) менее двух предохранителей.

10. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий: 1) только одно нестандартное, 2) не менее двух стандартны.

VII.

1. Вероятность наступления события в каждом из 100 независимых испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 60 раз.

2. Вероятность наступления события в каждом из 100 независимых испытаниях равна 0,2. Найти вероятность того, что событие произойдет не менее 20 и не более 30 раз.

3. Вероятность наступления события в каждом из 100 независимых испытаниях равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 12 раз.

4. Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

6. Монета подбрасывалась 4040 раз. При этом «герб» выпал 2048 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?

7. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта будет заключено между 600 и 700. Вероятность того, что изделие окажется высшего сорта, равна 0,65.

8. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430 годных.

9. Вероятность наступления события в каждом из 750 независимых испытаниях равна 0,2. Найти вероятность того, что событие произойдет не более 120 раз.

10. Вероятность наступления события в каждом из 800 независимых испытаниях равна 0,9. Найти вероятность того, что событие произойдет не менее 700 раз.

VIII.

1. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Найти вероятность того, что цифра 1 при этом выпадет 50 раз.

2. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины (предполагается, что число мужчин и женщин в городе одинаково)?

3. Вероятность наступления события в каждом из 400 независимых испытаниях равна 0,1. Найти вероятность того, что событие произойдет не менее 50 и не более 60 раз.

4. Вероятность наступления события в каждом из 100 независимых испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что событие произойдет: 1) ровно 90 раз, 2) не менее 80 и не более 90 раз.

5. Вероятность выздоровления больного в результате применения нового лекарства равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75?

6. Игральную кость подбрасывают 320 раз. Найти вероятность того, что цифра 5 при этом выпадет не менее 70 и не более 83 раз.

7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 77 раз.

8. Монету подбрасывали 4096 раз, причем «герб» выпал 2068 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?

9. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700. Вероятность появления изделия высшего сорта в партии равна 0,8.

10. Игральный кубик подбросили 125 раз. Какова вероятность того, что цифра 6 появилась не более 60 раз?