1.2. Спектр сигнала
Предположим, что сигнал представляет собой воздействие в виде периодической функции времени х (t) с периодом Т = 1/f, которую можно представить рядом Фурье:
,
(1.4)
где = 2f0; 1, 2, 3 … − начальные фазы отдельных гармоник;
Х1m, Х2m, Х3т, ... − амплитуды отдельных гармоник:
.
(1.5)
Коэффициенты Фурье
;
(1.6)
.
(1.7)
Смысл формулы (1.4) состоит в том, что любая периодическая функция х (t) может быть представлена суммой синусоидальных колебаний с частотами, кратными основной частоте , и с соответствующими амплитудами и начальными фазами. Отдельные слагаемые суммы (1.4) называются гармониками. Колебания основной частоты 1 называют первой гармоникой, колебание с частотой 2 − второй гармоникой и т. д.
Постоянная составляющая
(1.8)
представляет собой среднее значение функции х (t). Совокупность величин Xkm называется спектром амплитуд; совокупность величин k − спектром фаз. Чаще всего интересуются только спектром амплитуд и называют его для краткости просто спектром. Графически спектр изображают в координатах m, (рис. 1.6). Длины вертикальных отрезков представляют собой амплитуды соответствующих гармоник; эти отрезки называют спектральными линиями, а сам спектр − линейчатым.
В общем случае сумма (1.4) является бесконечным рядом. Но в действительности для всех сигналов число членов ряда, а следовательно, и число спектральных линий конечно, так как амплитуды гармоник, начиная с некоторого номера, становятся настолько малы, что ими можно пренебречь, не нарушая смысла сообщения. Таким образом, сигналы в системе управления и связи практически всегда представляются функциями с ограниченным спектром.
Интервал частот, в котором размещается ограниченный спектр, называется шириной спектра. Ограничение спектра производят, исходя из допустимого искажения сигнала, так, чтобы не потерять содержащуюся в нем информацию.
Рисунок 1.6 – Спектр сигнала
В качестве примера рассмотрим амплитудно- модулированный сигнал
,
(1.9)
в котором х (t) описывается выражением (1.4). Обычно частота нес на один - два порядка превышает высшую гармонику n1 сигнала x (t), поэтому говорят, что амплитуда несущих колебаний медленно меняется в соответствии с сигналом, а высокочастотные колебания являются переносчиком информации. Например, сигнал медленноменяющегося постоянного тока x (t) не может пройти через емкостную цепь, но легко может быть передан в нагрузку посредством амплитудной модуляции с последующей демодуляцией его.
Как видно из (1.9), амплитудная модуляция осуществляется в результате нелинейного преобразования сигнала − умножения гармонического колебания с постоянной амплитудой U0 и сигнала х (t). В результате получается негармоническое колебание, имеющее сложный спектр. Чтобы представить его, упростим задачу, положив x (t) = cos Ωt. После подстановки х (t) в выражение (1.9) и перемножения функций получим
.
(1.10)
Иначе
говоря, AM-колебание содержит три
составляющие: колебание несущей частоты
и два колебания с частотами
± Ω,
которые называются боковыми
частотами. Спектр
АМ-колебаний состоит из трех линий (рис.
1.6).
В
общем случае при AM ширина спектра равна
удвоенной ширине спектра модулирующей
функции (точнее, удвоенной высшей частоте
этого спектра). Амплитуда боковых частот
пропорциональна
,
т. е. глубине модуляции; при отсутствии
модуляции боковых частот нет, а при
наиболее глубокой модуляции амплитуды
боковых частот равны половине амплитуды
несущей.
При частотной модуляции (ЧМ) амплитуда несущих колебаний постоянна, а приращение, пропорциональное х (t), получает частота несущих колебаний нес = 0 + x (t); при фазовой модуляции фаза колебаний φ = φ0 + φ x (t). (Здесь и φ − частотное и фазовое отклонения, которые определяют глубину модуляции и выбираются по усмотрению проектировщика).
Форма напряжения сигнала несущей с ЧМ приведена ранее, на рис. 1.2. Аналогичным будет и сигнал с ФМ. Модулирующая функция х (t) изменяется по треугольному закону (рис. 1.2). ФМ можно рассматривать как разновидность ЧМ и наоборот. Ширина спектра ЧМ-колебаний может быть определена как 2 и называется также полосой качания, так как в процессе модуляции частота может принимать любое мгновенное значение в интервале 0 ± . При AM ширина спектра не зависит от интенсивности модулирующего сигнала, а при ЧМ - прямо пропорциональна амплитуде модулирующих колебаний.