Теория пар сил

Система двух равных по модулю параллельных противоположно направленных сил, называется парой сил.

Пара не имеет равнодействующую, её можно уравновесить только другой парой и можно представить в виде вектор-момента.

Свойства пар сил

1. Пару сил можно переносить в плоскости её действия произвольно, не изменяя её действие.

2. Момент пары не зависит от выбора центра.

Покажем, что сумма моментов сил относительно любого центра не зависит от выбора центра и равняется сумме момента.

Теорема об эквивалентности. Сложение пар сил в пространстве

Две пары, имеющие равные моменты – эквивалентны.

Продолжим векторы и отметим точки A и B.

Следовательно, две пары, имеющие равные моменты эквивалентны.

Можно произвольно менять модули сил и плечо пар, сохраняя неизменными их момент.

Перенос пары в параллельную плоскость

Пло­скости I и II должны быть параллельны, в частности, они могут совпадать.

Если приложить ии совместить точки при­ложения сил с проекциями точек, то получим:

Силы равны по модулю, поэтому их рав­нодействующие R и R' должны быть приложены в точке пересече­ния диагоналей прямоугольника ABB₁A₁, кроме того, они равны по модулю и направлены в проти­воположные стороны. Это означает, что они составляют систему, экви­валентную нулю.

Таким образом:

1. Пару сил можно переносить в параллельную плоскость. Произвольно менять модули сил и плечо, сохраняя момент. Две пары можно привести к одному плечу.

2. Пару сил можно перемещать в плоскости её действия.

Вектор – момент пары можно считать свободным вектором.

Если не плечо действует система пар сил, то складывая их геометрически получим главный вектор – момент равнодействующей пары, равный сумме векторов.

Понятие о статическом равновесии конструкции

Составляется уравнение относительно точки опрокидывания конструкции

–вес стены

Точка А – точка возможного опрокидывания

М_уд=1,5М_опр

М_опр – момент опрокидывающий

М_уд – удерживающий момент

Приведение силы к произвольному центру по методу Пуансо

Чтобы эффект действия сохранился нужно добавить равную и противоположную силу , которая образует присоединенную пару с плечомAB.

В результате приведения получаем силу , равную исходной и присоединенную пару.

с моментом M=Fh, можно представить в виде вектор – момента.

Так как вектор – момент свободный вектор, то его так же можно построить в точке B. Следовательно получаем: , которые можно приложить в точкуB.

Применяя метод Пуансо к системе сил, произвольно расположенных в пространстве можно получить условие равновесия любой произвольной системы в пространстве.

Приведение пространственной системы сил к произвольному центру. Условия равновесия пространственной системы

Требуется привести силы с центром О, с которым свяжем систему координат. Переносим F₁ в точку О, прикладываем , которая образует пару, проделываем то же сF₂.

Т.к. вектор-моменты пар являются параллельными векторами все их можно приложить к точке О.

Складывая их геометрически получим главный вектор момент:

Складывая F₁, F₂, F_n получаем главный вектор:

Ориентация векторов может быть определена с помощью косинусов.

Любую произвольную систему сил можно привести к любому центру и заменить двумя векторами M и R.

Если (=0 и=0) главный вектор и главный момент относительно любого центра равен нулю, то имеем условие равновесия произвольной системы сил.

Эти уравнения представляют уравнения равновесия системы сил в пространстве в аналитической форме.

Таким образом для равновесия любой произвольной системы сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций на каждую координатную ось и сумма их моментов относительно каждой оси равнялись нулю.

• Главный вектор не зависит от центра приведения.

• Скалярное произведение главного вектора и главного момента для любого центра приведения есть константа.

Частные случаи приведения произвольной системы сил:

1) , т.е. условие равновесия системы сил.

2)т.е. система приводится к силе, равной главному вектору, приложенному к центру приведения. Тело может совершать поступательное движение.

3) , т.е. система приводится к паре сил с моментомM. Тело совершает вращательное движение.

4) и параллельны.

Так как M свободный вектор его можно переместить, тогда будет осуществляться поворот и перемещение. Тело может двигаться поступательно и вращаться, точки будут описывать винтовые линии.

5) и перпендикулярны. Тело может находиться в поступательном движении.

Вычислим :

Определение реакций связи в пространственной конструкции

Указать реакции или составляющие шарниров, составить уравнения равновесия.

Сумма проекций на координатные оси:

Сумма моментов относительно координатных осей:

Решив эти уравнения, можно найти все неизвестные силы. В конце решения необходимо сделать проверку.