k_Fomin
.pdfгде a0 , a1, ..., an−1, an − некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, при этом a0 ≠ 0 .
Часть слагаемых в выражении для многочлена может отсутствовать. Это означает, что коэффициенты при соответствующих степенях многочлена равны нулю. Например, выражение 5x3 −2x +11 = 0 является многочленом 3-й степени
( a0 = 5; a1 = 0; a2 = −2; a3 =11 ).
Заметим, что
Действительно,
lim P (x) = lim a |
xn + a xn−1 +... + a |
|
x + a |
|
= |
||||||
x→∞ n |
x→∞ 0 |
|
1 |
|
n−1 |
|
n |
|
|||
|
= lim xn |
a |
+ |
a1 |
+... + |
an−1 |
+ |
an |
|
= (∞ a ) = |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
x |
|
xn−1 |
|
|
|
|
0 |
|
x→∞ |
|
|
|
|
xn |
|
|
В силу (69) отношение
|
∞ , если a0 |
> 0; |
lim Pn (x) = |
< 0. |
|
x→∞ |
−∞, если a0 |
∞ , |
a0 > 0; |
|
a0 < 0. |
−∞, |
Pn (x)
Qm (x)
(69)
(70)
двух многочленов Pn (x) и Qm (x) представляет собой при x → ∞ неопределенность типа ∞∞ (так говорят по той причине,
что предел такого отношения может оказаться равным конечному ненулевому числу, нулю или бесконечности, в зависимости от соотношения по величине между n и m ).
Для раскрытия такой неопределенности надо числитель и знаменатель дроби (70) разделить на xl , где l = max{n, m}, а
затем применить основную теорему о пределах.
Если вычисляется предел отношения (70) при x → x0 и это отношение представляет собой при x → x0 неопределен-
ность типа 00 , то для раскрытия такой неопределенности числитель и знаменатель дроби (70) делят на двучлен x − x0 (такое
деление корректно, ибо x → x0 , но x ≠ x0 , следовательно, x − x0 ≠ 0 ; кроме того, такое деление осуществляется нацело, ибо если x0 − корень многочлена, то данный многочлен делится нацело на x − x0 ; такое деление можно провести по правилу
уголка или по схеме Горнера (Горнер В.Д. (1786 − 1837) − английский математик)). При вычислении некоторых пределов используется первый замечательный предел
lim |
sin x |
=1 |
(71) |
|
x |
||||
x→0 |
|
|
и второй замечательный предел
В силу (71)
Если в (72) произвести замену α = 1x
|
|
1 |
x |
|
||
lim 1 |
+ |
|
|
= e . |
(72) |
|
x |
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
lim tg x =1.
x→0 x
( α → 0 при x → ∞ ), то второй замечательный предел можно записать в виде
|
|
1 |
|
|
|
lim (1+α) |
α |
= e . |
|
|
α→0 |
|
|
|
Функция y = f (x) |
называется непрерывной в точке x0 |
D( y) , если существует lim f (x) = f (x0 ) . |
||
|
|
|
|
x→x0 |
Функция y = f (x) |
называется непрерывной на множестве D D( y) , если она непрерывна в каждой точке этого мно- |
жества.
Справедлива основная теорема о непрерывных функциях.
Теорема. Пусть функции u = u(x) , v = v(x) непрерывны на множестве D D( y) . Тогда сумма, разность, произведение и частное этих функций тоже непрерывны на множестве D (в случае частного предполагается, что v(x) ≠ 0 для
x D ).
Основные элементарные функции (см. прил. 1) непрерывны на своей области определения.
Элементарная функция :: = функция, полученная с помощью конечного числа арифметических действий над основны-
ми элементарными функциями и конечного числа операций взятия функции от функции. Например, функция
y = 5sin3 x +ln2 x x3 +1
является элементарной.
Каждая элементарная функция непрерывна на своей области определения.
Из определения непрерывности функции в точке следует, что при вычислении предела при x → x0 непрерывной в точке x0 функции f (x) , достаточно в выражение для f (x) подставить вместо x значение x0 .
Например,
lim(2x2 − x +5) = 2 32 −3 +5 = 20 .
x→3
Задача 3.2. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) |
lim |
|
9x5 |
−4x3 + 2 |
; |
б) |
|
|
|
lim |
3x2 −10x +8 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 − |
3x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ 3x4 −2x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
lim |
1−cos5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
lim |
|
|
3x −1 2x−4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x5 −4x3 + 2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 − |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
A = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= ∞ , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x4 −2x +3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
A = ∞ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x4 |
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
|
A = lim |
|
3x2 −10x +8 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0, 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x2 −3x −2 |
0 |
|
|
|
|
|
2x |
+1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
3x2 −10x +8 |
|
|
|
x −2 |
|
|
|
− |
2x2 −3x −2 |
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 −6x |
|
|
|
|
|
3x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 −4x |
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−4x +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4x +8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
A = 0, 4 ; |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) |
|
A = lim |
1−cos5x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(1−cos 2α = 2sin2 α ; |
|
|
|
1−cos5x = 2sin |
2 |
5x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
tg 2x |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
→0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
||||||||||||||||||
|
= |
25 |
|
12 |
|
|
= |
25 |
= 6 |
1 |
= 6, 25 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A = 6, 25 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
г) |
A = lim |
|
3x −1 2x−4 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1 |
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
( |
3x −1 |
= |
|
|
(3x + 2) −2 −1 |
=1+ |
|
|
|
−3 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
2x−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
3x+2 |
|
|
|
|
−3 |
(2x−4) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
3x+2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3(2x−4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
3x+2 3x+2 |
|
|
||||
= lim |
|
+ |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
= |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3x + |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x+ |
|
lim |
−3(2x−4) |
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
2 x→∞ |
3x+2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
= e |
−2 |
|
||||
= |
lim |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
3x + |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = e−2 .
Задача 3.2 решена.
3.3. ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ, ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
3.3.1. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Правосторонний предел |
f (x0 +0) функции |
f (x) в точке x0 |
:: = предел функции f (x) в точке x0 , вычисленный при |
|||||
условии, что x стремится к x0 |
справа, т.е. x стремится к x0 , оставаясь больше x0 : |
|
||||||
|
|
|
|
f (x0 +0) = |
lim |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
x→x0 +0 |
|
|
||
(запись x → x0 +0 означает, что x стремится к x0 справа). |
|
|
|
|
||||
Левосторонний предел |
f (x0 −0) функции f (x) в точке x0 |
:: = предел функции f (x) в точке x0 , вычисленный при ус- |
||||||
ловии, что x стремится к x0 |
слева, т.е. x стремится к x0 , оставаясь меньше x0 : |
|
|
|||||
|
|
|
|
f (x0 −0) = |
lim |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
x→x0 −0 |
|
|
||
(запись x → x0 −0 означает, что x стремится к x0 слева). |
|
|
|
|
||||
Правосторонний и левосторонний пределы функции f (x) |
в точке называются односторонними пределами этой функ- |
|||||||
ции в данной точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.2. ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ |
|
||||
|
|
|
lim f (x) = A ( f (x0 +0) , f (x0 −0)) |
|
||||
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 +0) = f (x0 −0) = A . |
(73) |
|
|
|
|
3.3.3. ПРИЗНАК НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ |
|
||||
Пусть функция f (x) |
непрерывна в точке x0 , т.е. lim f (x) = f (x0 ) . Тогда в силу (73) f (x) непрерывна в точке x0 |
|||||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( f (x0 +0) , f (x0 −0)) f (x0 +0) = f (x0 −0) = f (x0 ) . |
(74) |
|||
Предельная точка x0 |
множества D( y) , называется точкой разрыва функции f (x) , если в этой точке функция |
f (x) не |
||||||
является непрерывной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (74) видно, что x0 |
является точкой разрыва функции в следующих случаях: |
|
||||||
1) существуют конечные односторонние пределы f (x0 +0) , |
f (x0 −0) и |
f (x0 +0) = f (x0 −0) , но x0 D( y) ; |
в этом |
|||||
случае x0 называется устранимой точкой разрыва функции f (x) ; |
|
|
|
|||||
2) существуют конечные односторонние пределы f (x0 +0) , |
f (x0 −0) , но |
f (x0 +0) ≠ f (x0 −0) ; в этом случае |
x0 на- |
|||||
зывается точкой разрыва первого рода функции |
f (x) (или точкой конечного разрыва); разность f (x0 +0) − f (x0 −0) назы- |
|||||||
вается скачком функции f (x) в точке x0 ; |
|
|
|
|
|
|||
3) хотя бы один из односторонних пределов |
f (x0 +0) , f (x0 −0) равен бесконечности (не важно какого знака); в этом |
случае x0 называется точкой разрыва второго рода функции f (x) (или точкой бесконечного разрыва).
Задача 3.3. Исследовать функцию y = f (x) на непрерывность:
а) найти точки разрыва функции, если они существуют; б) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; в) построить график функции.
|
|
x, |
x < −2; |
|
|
|
−2 ≤ x ≤1; |
f (x) = −x +1, |
|||
|
2 |
−1, |
x >1. |
x |
|
Решение.
а) Функция f (x) может иметь разрыв лишь в тех точках, при переходе через которые выражение для функции меняется, т.е. в точках x1 = −2 , x2 =1 . Проверим, будет ли x1 = −2 точкой разрыва:
|
f (x1 +0) = f (−2 +0) = |
lim |
f (x) = |
lim (−x +1) = 3 ; |
||||
|
|
|
x→−2+0 |
x→−2+0 |
||||
|
f (x1 |
−0) = f (−2 −0) = lim f (x) = |
lim x = −2 . |
|||||
|
|
|
x→−2−0 |
|
x→−2−0 |
|||
Получили: |
f (−2 +0) = 3 ; f (−2 −0) = −2 , |
но f (−2 +0) ≠ f (−2 −0) x1 = −2 − точка разрыва первого рода. Вычислим |
||||||
скачок функции в точке x1 = −2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = f (−2 + 0) − f (−2 −0) = 3 −(−2) = 5 , h = 5 . |
|||||||
Исследуем точку x2 =1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x |
+0) = f (1+0) = |
lim |
f (x) = |
lim (x2 −1) = 0 ; |
|||
|
2 |
|
x→1+0 |
|
|
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x2 |
−0) = f (1−0) = |
lim |
f (x) = |
lim (−x +1) = 0 ; |
|||
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
f (x2 ) = f (1) = (−x +1) |
|
x=1 = 0 . |
||||
|
|
|
||||||
Получим: |
f (1+0) = f (1−0) = f (1) функция f (x) непрерывна в точке x2 =1 . |
|||||||
б) f (−2 +0) = 3 ; f (−2 −0) = −2 ; h = 5 (см. а) ). |
|
|
|
|
|
|
||
в) Построим график функции (рис. 41). |
|
|
|
|
|
|
Рис. 41
Задача 3.3 решена.
3.4. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Рассмотрим функцию y = f (x) , x D( y) . Пусть x0 − внутренняя точка множества D( y) , т.е. Oδ (x0 ) Oδ (x0 ) D( y) . Придадим x0 приращение ∆x , т.е. рассмотрим точку x0 +∆x (приращение ∆x должно быть достаточно малым, а именно, таким, чтобы x0 + ∆x D( y) ; приращение ∆x может быть как положительным, так и отрицательным). Тогда функ-
ция f (x) получит приращение ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) .
Величина ∆y показывает насколько изменилась функция при переходе из точки x |
в точку x + ∆x . Отношение |
∆y − |
||
|
0 |
0 |
∆x |
|
это средняя скорость изменения функции при изменении аргумента на участке [x0 , x0 +∆x]. А величина |
||||
|
||||
lim |
∆y |
(75) |
||
∆x→0 |
∆x |
|
||
является мгновенной скоростью изменения функции f (x) в точке x0 . В различных прикладных задачах функция f (x) |
опи- |
сывает некий процесс, и важно знать скорость протекания этого процесса, т.е. необходимо работать с величинами вида (75). В связи с этим вводят следующее определение.
Производная функции f (x) в точке x0 :: = конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:
f ′(x0 ) = lim ∆y
∆x→0 ∆x
или, учитывая вид ∆y ,
|
|
f ′(x0 ) = lim |
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
. |
|
|
|
||
|
|
∆x→0 |
∆x |
|
Функция |
f (x) |
называется дифференцируемой в точке x0 , если она имеет в этой точке конечную производную. |
||
Функция |
f (x) |
называется дифференцируемой на множестве D D( y) , если она дифференцируема в каждой точке |
этого множества.
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на множестве D D( y) . Тогда каждой точке x D можно поставить в соответствие производную f ′(x) функции f (x) во взятой точке x . Тем самым на множестве D задана функция y′ = f ′(x) ,
называемая производной функции f (x) .
Производную y′ = f ′(x) обозначают также символом dydx .
Операция нахождения производной f ′(x) функции f (x) называется дифференцированием.
При дифференцировании функции применяют основную теорему о производных.
Теорема. Пусть функции u = u(x) , v = v(x) дифференцируемы на множестве D D( y) . Тогда сумма, разность, произведение и частное этих функций тоже дифференцируемы на множестве D и справедливы формулы:
1)[u(x) +v(x)]′ = u′(x) + v′(x) ;
2)[u(x) −v(x)]′ = u′(x) −v′(x) ;
3)[u(x)v(x)]′ = u′(x)v(x) +u(x)v′(x) ;
|
u(x) |
′ |
|
′ |
′ |
||
4) |
|
= |
u (x)v(x) −u(x)v (x) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
[v(x)]2 |
||||
|
v(x) |
|
|
|
(в случае частного предполагается, что v(x) ≠ 0 для x D ). Если f (x) ≡ C для x D( y) , то
5) (C )′ = 0 .
Из свойств 3), 5) следует, что
6) [Cu(x)]′ = Cu′(x) .
При нахождении производных функций используется также правило дифференцирования сложной функции, выраженное следующей теоремой.
Теорема. Пусть функция u = u(x) дифференцируема на множестве D D(u) , а функция y = y(u) дифференцируема на множестве u(D) . Тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема на множестве D и справедлива формула
y′x = yu′ u′x , |
(76) |
т.е. производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу u и производной промежуточного аргумента u по основному аргументу x .
Например, согласно правилу (76) производная функции y = sin3 x имеет вид
y′ = 3sin2 x (sin x)′ = 3sin2 x cos x |
|
|
|
|
||||||||||||
(данную функцию можно записать в виде y = u3 , u = sin x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Правило (76) распространяется на сложную |
функцию, состоящую из более, |
чем |
двух, звеньев. |
Например, если |
||||||||||||
y = y(w(u(x))) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
′ |
′ |
(77) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx = yw |
wu ux . |
|||
Согласно правилу (77) производная функции y = ln cos3 x имеет вид |
|
|
|
|
||||||||||||
y |
′ |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
x (−sin x) |
|
|
|
|
|||
= cos3 x |
3cos |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(данную функцию можно представить в виде y = ln w , w = u3 , u = cos x ). |
|
|
|
|
||||||||||||
Укажем правило дифференцирования функции, заданной параметрически: |
|
|
|
|
||||||||||||
, |
|
|
|
x = ϕ(t) |
|
t T . |
|
|
|
|
||||||
, |
|
|
|
|
= ψ(t) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть функции ϕ(t) и ψ(t) дифференцируемы |
на |
|
|
|
|
′ |
|
для |
любого t T . |
Пусть функция |
||||||
множестве T и ϕ (t) ≠ 0 |
||||||||||||||||
x = ϕ(t) имеет обратную функцию t = ϕ−1(x) . Тогда справедлива формула |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
yx′ |
|
|
ψ (t) |
|
|
yx′ = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
или |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ϕ′(t) |
xt′ |
|
|
|
|
При дифференцировании функций используется таблица производных основных элементарных функций (см. прил. 3).
Задача 3.4. Найти производные первого порядка, используя правила вычисления производных:
а) |
y = 5sin 2x −e4x ; |
б) y = sin2 3x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1+sin 2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
y = |
|
|
; |
г) {xy ==5sin3cos3tt;. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1−sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
y′ = (5sin 2x −e4x )′ = 5 (sin 2x)′−(e4x )′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= 5cos 2x 2 −e4x 4 =10 cos 2x −4e4x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y′ =10 cos 2x − 4e4x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
y′ = (sin2 3x)′ = 2sin 3x cos 3x 3 = 3sin 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(использована формула тригонометрии 2sin αcos α = sin 2α ), |
y′ = 3sin 6x ; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+sin 2x |
|
(1 |
|
|
|
|
||||||||
в) |
y′ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−sin 2x)2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
−sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
cos 2x 2 (1−sin 2x) −(1+sin 2x) (−cos 2x) 2 |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−sin 2x)2 |
|
|
|
||
|
= |
2cos 2x(1−sin 2x +1+sin 2x) |
= |
|
4cos 2x |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
(1−sin 2x)2 |
(1 |
−sin 2x)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
′ |
|
4cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1−sin 2x)2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) yx′ |
|
yt′ |
(3cos3 t)′ |
3 3cos2 t (−sin t) |
3 |
ctg t , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x′ |
(5sin3 t)′ |
5 3sin2 t (cos t) |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
yx′ |
3 |
ctg t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Задача 3.4 решена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ |
||||||||||
|
|
|
Производная y |
′ |
= |
′ |
функции y = f (x) сама является функцией переменного x и, следовательно, может оказаться |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x) |
||||||||||||||||||||
дифференцируемой по x . В связи с этим вводится следующее определение. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Производной второго |
порядка или второй производной функции |
|
f (x) называется производная от производной |
||||||||||||||||||
y |
′ |
= |
′ |
этой функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′(x) = [y′(x)]′ |
|
d 2 y |
|
d |
dy |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
= |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dx |
Аналогично вводится понятие производной более высокого порядка:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
n |
y |
|
|
d |
|
n−1 |
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n) (x) = |
y(n−1) |
(x) ′ или |
|
= |
|
d |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n−1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dx |
|
|
|
|||||
Задача 3.5. Для данной функции y = y(x) |
и аргумента x0 |
вычислить y′′(x0 ) . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 cos x ; |
x |
|
= |
π . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′ = (x2 )′cos x + x2 (cos x)′ = 2x cos x − x2 sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y′′ = (2x)′ cos x + 2x (cos x)′− (x2 )′ sin x − x2 (sin x)′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 2 cos x − 2x sin x − 2x sin x − x2 cos x = (2 − x2 ) cos x − 4x sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y′′ = (2 − x2 ) cos x − 4x sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
π |
|
− |
π2 |
|
π |
−4 |
π |
sin |
π |
= −2π, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
|
= 2 |
4 |
cos |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
π |
= −2π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.5 решена.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
I.Литература, рекомендуемая для изучения теоретической части курса
1.Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии : учебник. – 13-е изд., стереотип. / Н.В. Ефимов. – М. : Физ-
матлит, 2003. – 240 с.
2.Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры : учебник. – 9-е изд., перераб. / Д.В. Беклеми-
шев. – М. : Физматлит, 2001. – 376 с.
3.Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа : учебник. – 10-е изд., стереотип. / А.Ф. Бермант, И.Г. Арама-
нович. – СПб. : Лань, 2003. – 736 с.
4.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов. – В 2 т. / Н.С. Пискунов.
–М. : Интеграл-Пресс, 2004. – Т. 1. – 416 с.
5.Щипачев, В.С. Основы высшей математики. – 4-е изд., стереотип. / В.С. Щипачев. – М. : Высш. шк., 2001. – 479 с.
6.Демидович, Б.П. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.
:Астрель, 2003. – 656 с.
7.Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. – В 2 т. 7-е изд. / Г.М. Фихтенгольц. – М. : Физматлит, 2002. –
Т. 1. – 416 с.
II.Литература, рекомендуемая для изучения
практической части курса
1.Зимина, О.В. Высшая математика. – 2-е изд., испр. / О.В. Зимина [и др.]. – М. : Физматлит, 2001. – 368 с. (Решебник).
2.Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – 16-е изд., испр. / Д.В. Клетеник. – СПб. : Мифрил, 2001. – 208 с.
3.Цубербиллер, О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – 31-е изд., стереотип. / О.Н. Цубербиллер. –
СПб. : Лань, 2003. – 336 с.
4.Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – 2-е изд., перераб. / Л.А. Беклемишева [и др.]. –
М. : Физматлит, 2001. – 496 с.
5.Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике : учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стереотип. / В.С. Щипачев. – М.
:Высш. шк., 2004. – 304 с.
6.Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов / Б.П. Демидо-
вич. – М. : Астрель, 2004. – 558 с.
7.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. – В 3 ч. / А.П. Рябушко [и др.]. – Минск : Вышэйшая шко-
ла, 1990. – Ч. 1. – 270 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
|
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ |
||||||
1. |
Степенная функция: |
|
|
y = xα , α R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Показательная функция: |
|
|
y = ax , a R, a > 0, a ≠1. |
|
||
|
|
|
|
|
|||
3. |
Логарифмическая функция: |
|
|
|
|
x ::= x = a y ). |
|
|
y = log |
a |
x, |
a R, a > 0, a ≠1 ( y = log |
a |
||
4. |
Тригонометрические функции: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sin x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin x, y = cos x, |
y = tg x, y = ctg x, tg x = |
|
, ctg x = |
|||
|
cos x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x . sin x
5.Обратные тригонометрические функции:
y = arcsin x, |
y = arccos x, |
|
y = arctg x, y = arcctgx |
|||||
|
|
|
|
|
π |
; |
π |
|
( y = arcsin x ::= y − |
2 |
(sin y = x); |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||
y = arccos x ::= (y [0; π]) (cos y = x); |
||||||||
y = arctg x ::= |
|
|
− |
π |
; |
π |
||
y |
|
2 |
2 |
(tg y = x); |
||||
|
|
|
|
|
|
y= arcctgx ::= (y (0; π)) (ctg y = x) .
6.Гиперболические функции:
y = sh x (гиперболический синус), y = ch x (гиперболический косинус), y = th x (гиперболический тангенс),
y = cth x (гиперболический котангенс):
|
sh x = |
ex −e−x |
, ch x = |
ex +e−x |
, |
th x = |
sh x |
, cth x = |
ch x |
. |
||||
|
|
2 |
ch x |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
sh x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение 2 |
|
НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ |
|||||||||||||
1. |
Рациональная функция: y = Pn (x) , где Pn (x) −многочлен степени n: |
|
|
|
||||||||||
|
|
P (x) = a xn + a xn−1 +... + a |
n−1 |
x + a ; |
||||||||||
|
|
n |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
a0 , a1,..., an−1, an R; |
|
a0 ≠ 0 . |
|||||||||
Частные случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Линейная функция: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y = ax +b; a,b R; a ≠ 0. |
|
|
|
||||||||
Квадратичная функция: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y = ax2 +bx +c; a,b, c R; a ≠ 0. |
||||||||||||
2. |
Дробно-рациональная функция: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
Pn (x) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
Qm (x)
где Pn (x), Qm (x) − многочлены степени n и m соответственно.
Частные случаи:
Дробно-линейная функция:
y = cxax++db ; a,b, c, d R; c ≠ 0.
Приложение 3
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (u(x)) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1. (xα )′ = αxα−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
(uα )′ = αuα−1 u′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( x )′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( u )′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
′ |
= − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
′ |
= − |
|
1 |
|
|
|
u′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. (ax )′ = ax ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. (au )′ = au ln a u′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ex )′ = ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(eu )′ = eu u′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. (loga x)′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
(loga u)′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
u′ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x ln a |
u ln a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ln x)′ |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln u)′ |
|
= |
1 |
u′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4. (sin x)′ = cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
(sin u)′ = cos u u′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. (cos x)′ = −sin x |
5. |
(cos u)′ = −sin u u′ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||||||||
6. (tg x) |
|
= cos2 x |
6. |
(tg u) |
|
= cos2 u u |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′ |
||||||||||||||||
7. (ctg x) |
= −sin |
2 x |
7. |
(ctg u) |
= −sin2 u u |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. (arcsin x)′ = |
|
1 |
|
|
|
|
8. |
(arcsin u)′ = |
1 |
|
|
|
|
u′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−u2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9. (arccos x)′ = − |
1 |
|
|
9. |
(arccos u)′ = − |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
u′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−u2 |
|||||||||||
10. (arctg x)′ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
10. (arctg u)′ |
= |
1 |
|
|
|
|
u |
′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
|
|
1+u2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. (arcctgx)′ = − |
1 |
|
|
11. (arcctgu)′ = − |
|
|
|
|
1 |
|
|
u′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
1+u2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. (sh x)′ = ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
12. (sh u)′ = ch u u′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. (ch x)′ = sh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
13. (ch u)′ = sh u u′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
14. (th x) |
= ch2 x |
14. (th u) |
= ch2 u u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||||||||||||||||
15. (cth x) |
= − sh |
2 x |
15. (cth u) |
= − sh2 u u |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|