3. Преобразование тригонометрических выражений.

Найти значение выражения:

1) 3sin²x+10+3cos²x

2) 16 – 6sin²x – 6cos²x

3) cos(3π/2 + x), если sinx = 0,11

4) sin(180° - x), если sinx = - 0,24

5) sin(270° - x), если cos x = - 0,41

6) cos (х - 270°), если sinx = 0,59

7) cos²(х - 3π/2), если sinx = 0,2

8) tg²(x - π), если ctg x =2,5

9) (12 sin11°·cos11°) / sin22°

10) - 4√3 · cos(- 750°)

11) - 28 √3 · tg(- 30°)

12) 34√3 · tg (π/4)sin(π/3)

13) 4√2 · cos(π/4) cos (7π/3)

14) 7(sin²74° - cos² 74°) / cos148°

15) 12 / (sin²37° + cos²37°)

16) 12 / (sin²37° + sin²127°)

17) – 44 / (cos²23° + cos²113°)

Вычислить.

1) Дано: cosβ = 0,8 и 3π/2< β<2π. Найдите: sinβ

2) Дано: tg β = 7/24 и 180° < β < 270°. Найдите: cosβ

3) Дано: ctg β = -1(1|3) . Найдите: cos2β

4) Дано: cosα = - 0,6 и π/2< α<π; sinβ = - 0,6 и 3π/2< β<2π.

Найдите: sin (α – β).

5) Дано: cosα = - 0,6 и π/2< α<π; sinβ = - 0,6 и 3π/2< β<2π.

Найдите: sin (α + β).

6) (sinβ + cosβ)/( sinβ - cosβ)^-1, если sin2β = - 0,6 и π/2 < β < 3π/4.

7) (cos β – sin β)/( sin β + cos β)^-1, если sin2β = - 0,8 и 3π/4 < β < π.

8) 16·ctg 110°·sin105°·tg70°·cos105°

9) 12·ctg 140°·sin75°·tg40°·cos75°

10) (1 – 2sin²43°)/(sin176° + sin 4°)

11) ( 2cos²48° - 1)/(sin186° - sin 6°)

12) √3/2·(cos⁴75° -cos⁴15°)

13) Найдите tgx , если cosx = 1/√10 и x € (3π/2; 2π)

14) Найдите tgx , если sin x = - 5/√26 и x € (π; 3π/2)

15) Найдите cosβ , если sin β = - 3√11/10 и β € (1,5π; 2π)

16) Найдите sinβ , если cosβ = - √91/10 и β € (0,5π; π)

17) Найдите 24cos2β , если sin β = - 0,2

18) 5arcsin(cos π/2)

19) √3 cos(arcsin 1/2)

20) √2 sin (arccos(-√2/2))

21) 8/π · arcctg(cosπ)

Упростить выражение.

1) cos (π + 2α) + sin(π + 2α) tg(π/2 + α)

2) 19 + sin⁴α – cos⁴α + cos²α

3) 4sin²2α + 16sin⁴α – 16sin²α

4) (1 – 2sin²x) / 2tg(45°-x)·cos²(45°-x)

5) (3cos (π-β) + sin(π/2+β)) / cos(β+3π)

6) (2sin (α-7π) + cos(3π/2+α)) / sin(α+π)

7) 5sin(β - 7π) -11 cos(3π/2+β)

8) 7cos(π+β) – 2 sin(π/2+β)

9)

10)

4. Производная.

Найти значение производной функции в точке.

1) f(x) = (х³ - 27)/ (х² + 3х + 9) в точке х_о =1000

2) f(x) = (1 – 4х)/ (2х + 1) в точке х_о = - 1

3) f(x) = (х² + 1)² – 2(х² + 1) + 1 в точке х_о = 2

4) f(x) = 2√х + 16/х в точке х_о = 4

5) f(x) = cosx + tgx в точке х_о = -π

6) f(x) = sinx - ctgx в точке х_о = 0,5π

7) f(x) = х⁴ – (1/х) в точке х_о = 1

8) f(x) = (-2х+1)/(4х+2) в точке х_о = 0

9) Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к

графику функции у = sin(2x) в его точке с абсциссой 0

10)Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции

у = 6х – (2/х) в его точке с абсциссой (-1)

Напишите уравнение касательной

1) Дана функция f(x) = х² + х + 1. Напишите уравнение

касательной к графику этой функции в точке (1;3).

2) Дана функция f(x) = х² - х + 1. Напишите уравнение

касательной к графику этой функции в точке (1;1).

3) Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = х² +2х , параллельной прямой у = 4х-5.

4) Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = х² +4х , параллельной прямой у - 2х + 5 = 0.

5) Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = х² - 4х , параллельной оси абсцисс.

6) Укажите точку графика функции f(x) = х² +4х, в которой

касательная параллельна прямой у - 2х + 5 = 0. Найдите

сумму координат этой точки.

Найти экстремумы функции

1) Укажите точку максимума функции f(x), если f ′(x) =(х+6)(х-4).

2) Укажите точку минимума функции f(x), если f ′(x) =(х-7)(х+3).

3) Найдите максимум функции f(x) = х³ – 2х² – 7х + 3.

4) Укажите точку максимума функции g(x) = (х² +9) / х.

5) Укажите число точек экстремума функции g(x) = х⁵ – 15х³.

6) Укажите число точек экстремума функции f(x) = х³(х-1)⁴

7) Укажите точку минимума функции f(x) = х³ + х² – 5х + 4.

8) Найдите минимум функции g(x) = (х² +4) / х.

9) Найдите точки экстремума функции f(x) = 2х³ -3х² –1

10) Найдите точки экстремума функции g(x) = 2х³ – 0,5х⁴ - 8.

11) Найдите точки экстремума функции g(x) = х⁵ – 5х⁴ + 3.

12) Найдите точки экстремума функции f(x) = 3х⁴ -4х³ + 2

13) Найдите точки экстремума функции f(x) = 3х² - 2х³ + 6

14)

15)

Найти наибольшее или наименьшее значение функции на…

1) Найдите наибольшее значение функции f(x) = х³ – 3х на отрезке [0;3].

2) Найдите наименьшее значение функции f(x) = х³ – 3х на отрезке [-3;3].

3) Найдите наименьшее значение функции f(x) = х³ + 3х на отрезке [-2;31].

4) Найдите наибольшее значение функции f(x) = х³ – 3х на отрезке [-2;31].

5) Найдите наименьшее значение функции g(x) = х⁴(х+2)³ на отрезке [-1;1].

6) Найдите наименьшее значение функции g(x) =√3·х -√3·tgx -√3·(π|3) на отрезке [-π/3; π/3].

7) Найдите наименьшее значение функции

g(x) =√3·х -√3·ctgx +√3·(π|3) на отрезке [-π/3; π/3].

8) Найдите наибольшее значение функции f(x) = sinx + (9/π)x

на отрезке [0; 5π/6].

9) Найдите наибольшее значение функции f(x) = cosx - (6/π)x +4

на отрезке [0; 5π/3].

Физический смысл производной

1) Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S(t) = 5t + 0,2t² - 6, где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 5 сек. После начала движения.

2) Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки В этой прямой изменяется по закону S(t) = 2t³ - 12t² + 7, где t - время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/с²?

3) Точка движется по закону S(t) = 2t³ - 3t + 70, где t - время движения в секундах. Вычислите скорость движения точки в момент времени t =2 секунды.

4) Найдите скорость и ускорение точки, движущейся по закону

S(t) = t² + 2t + 37 ( t - время движения в секундах), в момент времени t = 3 секундам.

5) Две материальные точки движутся по законам S1(t) = 2,5t² - 6t + 1

( t - время движения в секундах), S2(t) = 0,5t² + 2t - 31 ( t - время движения в секундах). В какой момент времени скорости этих материальных точек будут равны?

6) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 5t – 0,5t² (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2с после начала движения.

7) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = t + 0,5t² (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 4с после начала движения.

8) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 3t +t² (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3с после начала движения.

9) Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

S = 0,5t² + 3t + 4 (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2с после начала движения.

10) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 12t - 3t² (м), где t - время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

11) Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

S = 0,5t² + 3t + 2 (м), где t - время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15м/с?