Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка_.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2016

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Линейная алгебра					Типовые расчеты

аналитическая геометрия					методические указания
	1	24		47
Ответ. X					.
			6	3
35

Задание 4. Исследовать систему на совместность и решить еѐ:

а) по формулам Крамера; б) матричным способом;

в) методом Гаусса.

1.x1 x2 3x3 0,3x1 2x2 2x3 1,x1 x2 5x3 2.

2.x1 4x2 2x3 5,

2x1 3x2 4x3 1,

4x1 x2 3x3 3.

3.x1 2x2 3x3 7,3x1 x2 4x3 2,5x1 3x2 2x3 8.

4.2x1 x2 3x3 1,

4x1 3x2 2x3 4,

x1 2x2 5x3 9.

5.x1 2x2 4x3 6,3x1 x2 x3 12,5x1 x2 2x3 3.

16. x1 x2 4x3 0,2x1 3x2 x3 1,4x1 5x2 3x3 1.

17. 3x1 2x2 x3 5,

x1 x2 2x3 0,2x1 4x2 3x3 2.

18. x1 2x2 5x3 1,3x1 3x2 2x3 4,2x1 x2 3x3 1.

19. x1 3x2 x3 11,x1 2x2 2x3 7,2x1 x2 3x3 4.

20. 2x1 3x2 3x3 5,

x1 2x2 x3 8,

3x1 4x2 5x3 10.

- 19 -

Линейная алгебра

Типовые расчеты

аналитическая геометрия

методические указания

3x1

2x2 4x3

21,

21.

x1 2x2

x3 4,

4x2 2x3 9,

3x1

2x1 3x2 3x3 8,

x3 10.

5x2 3x3

2x1

3x1

7. 5x1

2x3

22.

x1 2x2

3x3

4x3

x1 2x2

16,

2x1 3x 2 x3

4x3

3x1

11.

3x1 x 2

4x1

4x3

19,

23.

2x2

5x3 5,

3x1

2x3

11,

3x2

4x3

12,

2x1

x1 x2 2x3 8.

x1 2x2 3x3 1.

2x1

x2 3x3 9,

24.

x2 x3 4,

3x1

x3 20,

x1 5x2

3x1 5x2 6x3

36,

4x2 2x3

3x1

15.

x1 4x2 2x3 19.

10.

2x1

3x3

11,

25.

2x2

3x1

3x2 x3 1,

x2 x3 0,

2x1

5x1

2x2 x3 5.

x2 2x3 3.

3x1

2x1

11.

3x1

2x2 x3 5,

26.

2x1

3x2 x3 7,

2x2 4x3 7,

5x1

x1 2x2 3x3 1,

x2 2x3 0.

x1 3x2 2x3 2.

4x1

12.

2x1

2x2 4x3

27. 2x1

x2 3x3 7,

2x2 4x3 8,

3x2 x3 1,

3x1

2x1

x2 3x3 1.

2x2 x3 6.

4x1

3x1

- 20 -

Линейная алгебра						Типовые расчеты

аналитическая геометрия						методические указания
13. 2x1	3x2	x3 6,	28.	x1	2x	2 x3 1,
		3x3 5,
3x1 4x2		3x3 5,		2x1 3x2 2x3 2,
					x2	3x3 1.
x1 x2 x3 2.				x1	x2	3x3 1.
14. 4x1	x2	3x3 9,	29.	2x1 x		2 2x3 0,
						2 4x3 6,
x1 x2 x3 2,				4x1 x		2 4x3 6,
	3x2 6x3 12.				x2	2x3 4.
8x1	3x2 6x3 12.			x1	x2	2x3 4.
15. 4x1	x2	4x3 2,	30.	3x1 5x2 6x3 8,
	x2	2x3 4,				x3 4,
2x1	x2	2x3 4,		3x1 x2		x3 4,
					4x2 2x3 9.
x1 x2 2x3 1.				x1	4x2 2x3 9.

Решение типового примера.

Пусть требуется исследовать на совместность и решить следующую систему уравнений вышеуказанными способами:

x1 x 2 2x3 1,2x1 x 2 2x3 4,

4x1 x 2 4x3 2.

Решение. Исследование системы на совместность проведем в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли: система линейных ал-

гебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Составим расширенную матрицу системы и проведем над ней элементарные преобразования.

- 21 -

	Линейная алгебра		Типовые расчеты

аналитическая геометрия			методические указания
Полученная расширенная матрица имеет			ранг равный трем,
r		3 (матрица имеет ступенчатый вид,	а количество строк в
	A

матрице такого вида определяет ее ранг).

Проводя аналогичные преобразования над матрицей системы можно также привести ее к ступенчатому виду, и убедиться что ранг матрицы системы также равен трем, r A 3.

Значит, условие теоремы Кронекера-Капелли выполняется, таким образом, исходная система имеет единственное решение.

Теперь решим ее указанными способами.
I способ: по формулам Крамера.
Эти формулы имеют следующий вид: x										1		; y		2		;		z	3	.
Эти формулы имеют следующий вид: x												; y				;		z		.

Составим и вычислим определители , 1,											2 ,		3 .
				1	2				1		1		2
			1	1	2				1		1		2
	A		2	1	2	6 .	1		4			1			2		6 ;
	A		2	1	2	6 .	1		4			1			2		6 ;
			4	1	4				2		1		4
			1	2				1			1		1
		1	1	2				1			1		1
2		2	4	2	12 ;		3	2			1		4		12 .
		4	2	4				4			1		2
(определитель			составлен из коэффициентов при неизвестных в

системе уравнений, а определители i — из определителя , заме-

ной соответствующего i -го столбца на столбец свободных членов). Таким образом, решение:

x	1	6	1;	y	2		12	2;	z	3	12	2. .

		6					6				6
		6					6				6
Ответ. 1;	2; 2 .
						- 22 -

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

II способ: матричный способ. Перепишем систему в матричном виде:

A X B ,

где
	1	1	2

A	2	1	2	,	X
	4	1	4
	4	1	4

x1 x2 ,

1 B 4 .

Полученное матричное уравнение решим, умножив обе части равенства на обратную матрицу A 1 с левой стороны:

X A 1 B .

Найдем эту обратную матрицу, используя следующий алго-

ритм нахождения обратной матрицы:

1.Вычислить A — определитель матрицы A.

если A 0 , матрица вырожденная, то обратной не су-

ществует;

если A 0, то переходим к следующему пункту.

2.Транспонировать матрицу A.

3.Найти присоединенную матрицу A .

4.Составить обратную матрицу, согласно формуле A 1 A1 A .

Проводим последовательно нужные вычисления.

		1	1	2
1.	A	2	1	2	6 0 существует обратная матрица.

		4	1	4

		1 1			2 T	1		2	4
	T
2. A			2	1	2		1	1	1	.
			4	1	4		2	2	4
			4	1	4		2	2	4
								- 23 -

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

(транспонированная матрица, получается из исходной заменой

строк матрицы на столбцы). 3. A ?

Присоединенной матрицей A , называется матрица, составленная из алгебраических дополнений Ai j к элементам ai j транспо-

нированной матрицы A . Значит, необходимо вычислить алгебраические дополнения каждого элемента транспонированной матрицы.

A	11			1					1			6 ;				A	12						1				1		2 ;			A	13			1			1				4 ;
A				1					1			6 ;				A							1				1		2 ;			A				1			1				4 ;
			2						4																2		4									2				2
			2						4																2		4									2				2
									4												1					4												1		2
A	21				2				4				0 ;			A	22				1					4		4;				A	23					1		2		2 ;
	21				2				4								22				2					4							23					2		2
					2				4												2					4												2		2
A	31								4		6 ;					A		32						1				4	3 ;			A		33			1			2	3.
A				2					4		6 ;					A								1				4	3 ;			A					1			2	3.
				1					1																1		1										1		1
				1					1																1		1										1		1
												6			2			4
Отсюда,						A								0	4			2
Отсюда,						A								0	4			2	.
														6	3	3
														6	3	3
														6		2				4
								1				1
4. Тогда						A									0	4				2			.
4. Тогда						A						6			0	4				2			.
												6			6	3			3
															6	3			3
Значит:
										6					2	4 1														6			1
							1																				1
		X										0			4	2						4								12			2		.
		X					6					0			4	2						4					6			12			2		.
							6					6			3	3						2					6			12		2
												6			3	3						2								12		2
Следовательно, x1 1;																x2 2;					x3				2.						Ответ. 1;									2; 2 .

III способ: метод Гаусса.

Перепишем исходную систему в соответствии с расширенной матрицей, приведенной к ступенчатому виду:

- 24 -

	Линейная алгебра															Типовые расчеты

аналитическая геометрия															методические указания
		1 1			2	1		1		1	2	1		1		1	2	1
		1 1			2	1		1		1	2	1		1		1	2	1


	A		2	1	2	4	~		0	3	2	2	~		0	3	2	2	.
			4	1	4	2			0 3		4	2			0	0	2	4

(элементарные преобразования аналогичны проведенным ранее, см. стр. 23)

Исходная система примет вид:

x1 x2 2x3 1,

3x2 2x3 2,2x3 4.

Последнее уравнение дает неизвестное x3 , подставляя его во второе уравнение, определим неизвестное x 2 , а затем из первого уравнения найдем неизвестное x1 :

	x1 x2 4 1,	x1 2 3,	x1 1,
		x2 2,
3x2 4 2,		x2 2,	x2	2,
	x3 2.	x3 2.		2.
	x3 2.	x3 2.	x3	2.
Ответ. 1;	2; 2 .

Задание 5. Исследовать на совместность и решить систему:

1.	x1 x2 3x3 4x4 1,		2.	x1 x2 x3 2x4 3,
		4x1 5x2 2x3 x4 3,			3x2	2x3 4x4 3,
		4x1 5x2 2x3 x4 3,		x1	3x2	2x3 4x4 3,
		3x1 4x2 x3 3x4 2.
		3x1 4x2 x3 3x4 2.		2x1 3x2 2x3 6x4 5.
3.		x1 2x2 4x3 2x4 5,	4.		4x2	x3 2x4 3,
		x1 2x2 4x3 2x4 5,		3x1	4x2	x3 2x4 3,
		3x1 x2 3x3 x4 10,			5x2	3x3 5x4 6,
		3x1 x2 3x3 x4 10,		3x1	5x2	3x3 5x4 6,
		2x1 3x2 7x3 3x4 5.			8x2	x3 5x4 8.
		2x1 3x2 7x3 3x4 5.		6x1	8x2	x3 5x4 8.
			- 25 -

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

5.x1 3x2 4x3 5x4 3,

5x1 2x2 5x3 3x4 1,7x1 5x2 3x3 x4 4.

7.x1 x2 3x3 2x4 4,

2x1 x2 x3 3x4 5,4x1 3x2 2x3 x4 2.

9.x1 2x2 2x3 2x4 0,

2x1 3x2 x3 5x4 3,3x1 x2 x3 4x4 3.

11. x1 x2 x3 x4 1,
	2x1 x2 3x3 4,

	3x1 2x2 4x3 x4 5.

13.3x1 2x2 2x3 2x4 2,

2x1 3x2 2x3 5x4 3,

2x1 2x2 3x3 4x4 5.

15.x1 x2 x3 x 4 7,

x1 x2 x3 x 4 1,x1 x2 x3 x 4 1.

17. x1 2x2 2x3 9x4 4,

x1 3x2 x3 9x4 3,

3x1 8x2 3x3 24x4 7.

6. x1 3x		2 x3 2x4	5,
		3x3 2x4
x1 x2			7,
	2x1 2x2 4x3 3x4 9.

8.x1 2x2 3x3 2x4 2,

2x1 3x2 2x3 3x4 5,4x1 x2 4x3 x4 1.

10.x1 2x2 x3 3x4 5,

3x1 4x2 3x3 2x4 2,

2x1 x2 2x3 4x4 4.

12.x1 2x2 5x3 3x4 0,

2x1 2x2 2x3 2x4 5,5x1 8x2 17x3 19x4 5.

14.x1 x2 7x3 2x4 2,

2x1 3x2 8x3 4x4 1,

4x1 2x2 19x3 x4 8.

16.x1 x2 x3 2x4 3,

x1 3x2 2x3 4x4 3,2x1 3x2 2x3 6x4 5.

18. x1	x2 2x3 x	4 1,
	3x 2 x3 x	4 0,
x1	3x 2 x3 x	4 0,

2x1 5x3 2x 4		3.

- 26 -

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

19.x1 2x2 2x3 4x4 2,

2x1 3x2 4x3 6x4 3,

2x1 5x2 5x3 8x4 6.

21.x1 6x2 2x3 36x4 6,

2x1 11x2 5x3 72x4 14,

x1 7x2 2x3 42x4 7.

23.	3x1 2x2 2x3 5x	4 10,

x1 x2 5x3 15x4		0,
	2x1 x2 3x3 6x4	2.
	2x1 x2 3x3 6x4	2.

25.3x1 x2 4x3 15x4 26,

5x1 3x2 2x3 11x4 34,4x1 x2 3x3 15x4 24.

27.x1 5x2 x3 3x4 5,

5x1 4x2 5x3 9x4 19,

x1 4x2 2x3 2x4 4.

29.3x1 5x2 6x3 10x4 3,

2x1 3x2 5x3 8x4 2,x1 2x2 2x3 4x4 2.

20. x1 3x2 3x3 9x4 3,
	3x1 8x2 9x3 24x4 7,

	3x1 10x2 10x3 27x4 12.

22.2x1 4x2 3x3 5,

x1 x2 2x3 6x4 2,4x1 3x2 2x3 3x4 1.

24.3x1 2x2 x3 x4 10,

5x1 x2 4x3 7x4 8,x1 2x2 5x3 7x4 4.

26.x1 2x2 2x3 4x4 2,

2x1 3x2 4x3 6x4 7,2x1 5x2 5x3 8x4 2.

28.x1 2x2 x3 4x4 2,

x1 x2 2x3 4x4 1,2x1 3x2 2x3 6x4 1.

30.2x1 3x2 2x3 6x4 2,

x1 2x2 x3 4x4 2,x1 x2 x3 2x4 3.

Решение типового примера.

Пусть требуется исследовать на совместность и решить следующую систему уравнений:

- 27 -

Линейная алгебра			Типовые расчеты

аналитическая геометрия			методические указания
x1 3x 2			4x3 4x 4 10,
		x 2	x3 x 4 1,
	2x1	x 2	x3 x 4 1,
	3x1	x 2	x3 3x 4 2.
	3x1	x 2	x3 3x 4 2.

Исследование системы на совместность проведем в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли (см. стр. 21).

Составим расширенную матрицу системы и проведем над ней элементарные преобразования

полученная расширенная матрица имеет ранг равный трем, r A 3.

Проводя аналогичные преобразования над матрицей системы можно также привести ее к ступенчатому виду, и убедиться что ранг матрицы системы также равен трем, r A 3. Значит, условие теоре-

мы Кронекера-Капелли выполняется, следовательно, исходная система имеет решение совместная.

Выясним теперь определенная исходная система или неопределенная. Для этого сравним ранг полученных матриц с числом неизвестных переменных.

Поскольку ранг рассмотренных матриц равен 3, а число неизвестных переменных 4, т. е. r 3 n 4 , то делаем вывод о неопределенности данной системы линейных уравнений.

- 28 -

Линейная алгебра	Типовые расчеты

аналитическая геометрия	методические указания

Так как r 3, значит, три неизвестные исходной системы яв-

ляются основными, и одна вспомогательная. Выберем основные неизвестные. Переменные могут быть основными, если определи-

тель, составленный из коэффициентов при них, отличен от нуля.

Проверим, являются ли основными неизвестные x1, x2 , x3 ?

Составим по матрице ступенчатого вида, определитель из коэффи-

циентов при выбранных переменных:

	3	4
1	3	4
0	1	1	1 1 1 1 0	x1, x2 , x3	основные неиз-
0	0	1

вестные, а x 4 вспомогательная переменная.

Далее, по матрице ступенчатого вида составим систему урав-

нений и разрешим ее относительно основных переменных.

3x2

4x3

4x4

10,

x1 3x2 4 x4 2 4x4

10,

x2 x3 x4 3,

x2 x4 2 x4 3,

x4 2.

x3 x4 2.

1 8x

x1 2x4 1,

x2 2x4 1,

x2 2x

4 1,

x4 2.

x3 x4

- 29 -

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025645.63 Кб0методичка учётно-финансовый.doc
#
21.05.2015925.94 Кб29Методичка ФВ для очников.docx
#
21.05.2015874.59 Кб41Методичка фин. выч. для очников.docx
#
21.05.2015675.84 Кб35методичка.doc
#
21.05.2015850.94 Кб62Методичка.doc
#
20.03.20162.03 Mб54Методичка_.pdf
#
21.05.2015570.88 Кб69методичка_организационное_проектирование.docx
#
21.05.2015784.38 Кб39Методуказания.doc
#
26.04.201910.85 Mб30Метрология.doc
#
21.05.20156.43 Mб364Механизация послеуборочной обработки зерна.pdf
#
21.05.201530.21 Mб2852Механизация часть вторая.doc