Ответ: 
Счастливое задание для самостоятельного решения: Пример 13
Для функции 
:
а) найти 
непосредственным дифференцированием; б) найти 
по формуле Лейбница; в) вычислить 
.
Нет, я вовсе не садист – пункт «а» здесь достаточно прост =)
А если серьёзно, то «прямое» решение последовательным дифференцированием тоже имеет «право на жизнь» – в ряде случаев его сложность сопоставима со сложностью применения формулы Лейбница. Используйте, если сочтёте целесообразным – это вряд ли будет основанием для незачёта задания.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Чтобы поднять заключительный параграф нужно уметь
дифференцировать неявные функции:
Производные высших порядков от функций, заданных неявно
Многие из нас потратили долгие часы, дни и недели жизни на изучение окружностей, парабол, гипербол – а иногда это вообще казалось сущим наказанием. Так давайте же отомстим и продифференцируем их как следует!
Начнём со «школьной» параболы в её каноническом положении:
Пример 14
Дано уравнение 
. Найти 
.
Решение: первый шаг хорошо знаком:
То, что функция и её производная выражены неявно сути дела не меняет, вторая производная – это производная от 1-й производной:
Однако свои правила игры существуют: производные 2-го и более высоких порядков принято выражать только через «икс» и «игрек».
Поэтому в полученную 2-ю производную подставим 
:
Третья производная – есть производная от 2-й производной:
Аналогично, подставим 
:
Ответ: 
«Школьная» гипербола в каноническом положении – для самостоятельной работы:
Пример 15
Дано уравнение 
. Найти 
.
Повторяю, что 2-ю производную и результат следует выразить только через «икс»/«игрек»!
Краткое решение и ответ в конце урока.
После детских шалостей посмотрим немецкую поpнoгр@фию рассмотрим более взрослые примеры, из которых узнаем ещё один важный приём решения:
Пример 16
Найти 
Эллипс собственной персоной. Решение: найдём 1-ю производную:
А теперь остановимся и проанализируем следующий момент: сейчас предстоит дифференцировать дробь, что совсем не радует. В данном случае она, конечно, проста, но в реально встречающихся задачах таких подарков раз два и обчёлся. Существует ли способ избежать нахождения громоздкой производной? Существует! Берём уравнение 
и используем тот же самый приём, что и при нахождении 1-й производной – «навешиваем» штрихи на обе части:
Вторая производная должна быть выражена только через 
и 
, поэтому сейчас (именно сейчас) удобно избавиться от 1-й
производной. Для этого в полученное уравнение подставим 
:
Чтобы избежать лишних технических трудностей, умножим обе части на 
:
И только на завершающем этапе оформляем дробь:
Теперь смотрим на исходное уравнение 
и замечаем, что полученный результат поддаётся упрощению:
Ответ: 
Как найти значение 2-й производной в какой-либо точке (которая, понятно, принадлежит эллипсу), например, в точке 
?
Очень легко! Этот мотив уже встречался на уроке об уравнении нормали: в выражение 2-й производной нужно подставить
:
Безусловно, во всех трёх случаях можно получить явно заданные функции и дифференцировать их, но тогда морально настройтесь работать с двумя функциями, которые содержат корни. На мой взгляд, решение удобнее провести «неявным путём».
Заключительный пример для самостоятельного решения:
Пример 17
Найти 
неявно заданной функции
Краткое решение и ответ совсем близко.
Дополнительные примеры повышенной технической сложности можно найти в ИДЗ-6.2 задачника Рябушко. Время от времени меня упрекают в том, что я разбираю слишком много простых задач, однако
ив этот урок я намеренно не стал включать примеры со «страшными» производными – моя цель состояла в том, чтобы рассказать о методах
иприёмах решения. Главное – хоть небольшое, но понимание, а остальное приложится!
Позабытыми остались и производные высших порядков от
параметрически заданных функций, которые практически не встречаются. …А если и встретятся, то, что в них сложного? Вот
формулы: 
, которые при более или менее
приличных навыках можно вывести, не заглядывая ни в какие справочники.
Успехов! Решения и ответы:
Пример 2: Решение: найдём пятую производную:
Очевидно, что 
Ответ:
Пример 4: Решение: найдём несколько производных:
Запишем «энную» производную: 
Таким образом: 
Ответ: 
Пример 5: Решение: найдём несколько производных:
Запишем производную 
порядка для 
:
Таким образом: 
Ответ: 
Примечание: «энную» производную также можно записать с
двойным факториалом: 
. В
частности: 
. О том, что такое двойной
факториал, читайте в статье Ряды повышенной сложности (после Примера 13).
Пример 7: Решение: преобразуем функцию:
Найдём несколько производных:
Примечание: производную можно найти и без преобразований с помощью правила 
.
Ответ: 
Пример 9: Решение: найдём несколько производных:
47 делится на 4 с остатком 3 – данному случаю соответствуют производные 3-й строки, таким образом: 
Способ второй: Используем формулу 
:
Примечание: в силу периодичности косинуса, «убрали» 11 периодов, далее – использовали формулу приведения 
. Вычислим производную в точке:
Ответ: 
Пример 11: Решение: Используем формулу Лейбница:
.
Таким образом:
Ответ: 
Пример 13: Решение:
а) найдём 4-ю производную последовательным дифференцированием:
б) найдём 4-ю производную с помощью формулы Лейбница:
Таким образом:
в) 
Ответ: 
Пример 15: Решение: найдём 1-ю производную:
Вторая производная:
– подставим в неё 
:
2-ю производную можно упростить: преобразуем исходное уравнение:
– подставим во 2-ю производную:
Найдём третью производную:
– и подставим в неё 
:
Ответ: 
Пример 17: Решение: найдём 1-ю производную:
Найдём 2-ю производную:
Подставим 
:
Cпособ второй:
– подставим в неё 
:
Ответ: 