Векторы (основные понятия и определения).
Все величины делятся на скалярные и векторные.
Скалярные величины характеризуются числовым значением (вес товара, стоимость и т.д.)
Векторные величины характеризуются числовым значением и направлением.
Вектором называется направленный отрезок, на котором указаны начало, конец и направления.
Обозначается
или
,
‒
длина вектора.
Векторы называются коллинеарными, если их направление совпадает или противоположно.
|
а) б) |
|
‒коллинеарные.
Теорема. Признак коллинеарности векторов.
Для
того чтобы
былколлинеарен
ненулевому
необходимо и достаточно, чтобы существовало
такое числоk,
для
которого выполнялось бы равенство:
=
k
,
где k– коэффициент пропорциональности.
Векторы
называются компланарными,
если их можно поместить в одну плоскость
путем параллельного переноса.
Сложение векторов
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Разность векторов
=
Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы.
Положение вектора в пространстве задают направляющие Cos углов (, , j) вектора с осями координат:
Cos
=
;
Cos
=
;
Cos
j
=
;
Пусть
=
(
);
= (
);
1. Сумма (разность) векторов:
=
(
(
= (
)
+ (
+ +(
=(
;
.
2. Умножение вектора на:
·
= (
;
;
).
3. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
=
·Cos;
где
=(
);
≤ ≤
Свойства:
1.
=
=
–скалярный
квадрат.
2.
Если
,
то
= 0;
т.к. Cos
=
0;
3.
=
‒
коммутативность
4.
(
= (
)
=
(·
–ассоциативность
5.
(
)
=
+
·
–дистрибутивность
Выведем формулу скалярного произведения через координаты:
=
(
· (
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
=
+
+
– формула для нахождения скалярного произведения.
Прямоугольный базис.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве.
Прямоугольные координаты вектора (точки).
Разложение вектора по базису.
При
взаимных перпендикулярных единичных
вектора
,
выходящих из одной точки, образуют
прямоугольный базис в пространстве.
Прямые проведенные в направлении базисных векторов образуют прямоугольную декартову систему координат:
ОХ
– в направлении ‒
‒ ось абсцисс;
ОУ
– в направлении ‒
‒ ось ординат;
ОZ
– в направлении ‒
‒ ось аппликат;
‒орты
координаты осей, т.е.
‒
орт оси ОХ и т.д.
=
OM
– радиус ‒
вектор
точки М.
;
=
1.
Прямоугольными координатами вектора (точки) называются проекции этого вектора (точки) на оси ординат.
=
(x,
y,
z).
=
=
+
=
+
+
= х
+ у
+z
=
х
+ у
+z
‒ разложение
вектора
по базису
Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
По свойству длинны диагонали прямоугольного треугольника, получим:
2
=
2
=
2
+
2
+
2,
т. е.
2
=
x2
+
y2
+
z,
следовательно,
=
.
Так
как вектор
можно свободно перемещать в пространстве,
то длина произвольного вектора
=
.
По
правилу сложения вектора
=
‒
,
=
(x2
‒
x1;
y2
‒
y1;
z2
‒
z1)
Подставив
координаты
в формулу длины вектора, получим формулу
для нахождения расстояния между точками:
‒ формула расстояния между точками.
Из
формулы
=
cos
α найдем
Cos
α =
Или
если
=
(
= (
).
Векторное произведение векторов (геометрический смысл, свойства).
Векторы
,
и
,
взятые в указанном порядке, образуют
правую тройку векторов (рис. 2), если
находится по ту сторону плоскости,
содержащей векторы
и
,
откуда кратчайший поворот от вектора
к
можно совершить против часовой стрелки.
В противном случае векторы образуют левую тройку векторов (рис. 1).
Векторным
произведением векторов
и
называется вектор
=
×
,
удовлетворяющей следующим 3‒м свойствам:
│
│=
│
│·│
│·sin,
где
= (
;
).
⊥
;
⊥
;Векторы
,
и
,
взятые в указанном порядке, образуют
правую тройку векторов.
Геометрический смысл.
Sпароаллелограмма
= │
│·│
│·sin
=> │
│
=│
×
│,
т.е.
│
×
│=Sпароаллелограмма
Модуль
векторного произведения векторов
и
равенSпараллелограмма,
построенного на векторах ‒ множителях.