Другие формы вычетов. Датчик №4:

R_i+1 = FRAC(M*R_i), R₀ = u / p (4.1)

где FRAC(A)=A-INT(A)- есть дробная часть числа А.

pиM-специально подобранные целые постоянные.

Значение u(u-целое число,u<p) однозначно определяет последовательность. Длина последовательности неповторяющихся чисел, очевидно, не превосходитp.

Смысл формулы состоит в следующем: Разложим R₀в бесконечную М-ичную дробь, т.е. дробь по степенямM^-k:

(4.2)

где a_kпринимает одно из возможных значений 0, 1, …M-1.

Теперь:

R₁=FRAC(M*R₀) = 0,а₂а₃…

R² = FRAC(M*R¹) = FRAC(M*0,a₂a₃...)=0,a₃a₄…=FRAC(M²*R₀)

…………………………………………………………(4.3)

R_i = FRAC(Mⁱ * R₀) = 0,a_{i + 1} a_{i + 2} …

Т.е. операция полученияR_iсостоит в перенесении запятой вR₀наiпозиций вправо и отбрасывании целой части.

Для того, чтобы дробь (4.2) была бесконечной необходимо, чтобы выражение R₀=u/pявляло собой несократимую дробь.

Например, возьмём p=2^m,m-целое число. Тогда для того, чтобыuиpбыли взаимно простыми достаточно выбратьuтаким, чтобы в разложении его на простые сомножители среди них не встречался бы множитель 2. Можно выбиратьuиpвзаимно простыми и другими способами.

Примечание:Многие специалисты [2] исследовали и проверяли псевдослучайную последовательность двоичных чиселV_i:

V_i :=FRAC(M * V_i)

V₀ := 2 ^{– m} (4.4)

m-число двоичных разрядов мантиссы ячейки ЭВМ.

Они брали множитель Mвида:

M= 5^{2 q + 1},q-целое число.

Согласно формуле (4.3) имеем:

V_i = FRAC(5^{i*(2 q+1)} ,(4.5)

Опишем получение последовательности величин V_iаналогично алгоритму (4.1), (4.2).

Запишем дробь V₀=2 ^{– m} в системе счисления с основанием 5:

(4.6)

где a_kпринимает одно из значений: 0, 1, 2, 3, 4.

Соотношение (4.5) означает, что запятая в (4.6) переносится на (2q+1)*iпозиций вправо и целая часть полученного числа отбрасывается. Отсюда ясно, что при малых 2q+1 величиныV_i,V_i+1будут заметно зависимыми. Поэтому рекомендуется братьqмаксимальным из тех, для которых выполняется условие:

(4.7)

Методами теории чисел можно показать, что для указанных параметров M,V₀длина последовательности будет:

Величина 5^2q+1в двоичном виде оканчивается на 01. Поэтому всеV_iесть двоичные дроби, последние два разряда которых равны 01.

Вследствии равенства L=2^m-2остальныеm-2 разряда пробегают все возможные значения (комбинации).

Поэтому в качестве V₀можно брать любуюm-разрядную двоичную дробь такого типа.

Этот метод вычетов реализован программой в машинных кодах на ЭВМ М-220 и БЭСМ-6.

Величины М и mвзяты равными соответственно:

M=5¹⁵и 5¹⁷иm=36 и 40.

Для БЭСМ-6 длина L2*10¹¹.

Задание:Исследовать как влияют величиныM,uиpформулы (4.1) на стохастические качества и на длиныLиlпоследовательности псевдослучайных чисел этого датчика.

Определить влияет ли R₀на статистические параметры датчика и, если влияет, то найти допустимую зону заданияR₀. Представить результаты тестирования датчика для его оптимальных параметров.

Датчик №5

В [5], [6] предлагается в формуле(4.1) выбирать MиR₀следующими способами:

Способ 1:M=8t3,t- целое число.

R₀- любое нечётное число, меньшее 1,т.е. дробь вида 0,xxxxxxн, н - нечётная цифра.

В [6] рекомендуется брать M=37. Однако, такой датчик заметно меняет свои статистические характеристики при измененииR₀.

Способ 2:M=16q+11,q-целое число.

R₀ - любое нечётное число меньшее 1. Например, приM=91,R₀=0.11111111 получаетсяL10000.

Задание:Исследовать такими способами выбираемых констант их влияние на стохастические качества датчика и длиныlиLпоследовательности псевдослучайных чисел. Посмотреть также, как влияет выбор чётногоR₀. Установить влияет лиR₀на параметры датчика и, если влияет, то оценить область приемлемого значенияR₀. Представить результаты тестирования датчика с подобранными оптимальными параметрами.