4.Датчики случайных чисел Датчик №1: Метод Неймана.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел был предложен Дж. Нейманом. Его называют методом середины квадратов.

Пусть задано 4-значное число R₀=0.9876. Возведём его в квадрат. Получим 8-значное числоR₀²=0.97535376. Выберем 4 средние цифры из этого числа и положимR₁=0.5353. Затем снова возведём в квадрат и извлечём из него 4 средние цифры. ПолучимR₂и т.д. Этот алгоритм не оправдал себя. Получалось больше чем нужно малых значенийR_i.

Однако, представляет интерес исследовать качество этого генератора со смещённой вправо группой выбора цифр у R_i²:

где a-максимальная значность дроби для данной ЭВМ (например, а=8).

b-количество знаков после запятой в числеR_i(например, 5).

INT(А)- целая часть числа.

Для a=8,b=5,R₀=0.51111111 на ПКZX-Spectrumполучается около 1200 неповторяющихся чисел.

Задание:Исследование следует проводить при варьировании а,b,R₀. Найти при каких величинахa,b,R₀получается наибольшая длинаLпоследовательности неповторяющихся чисел при “хороших” стохастических параметрах. Установить влияет ли величинаR₀на качество датчика. Если влияет, то определить область “приемлемых” значений параметраR₀. Представить результаты тестирования оптимального варианта значенийa,b,R₀.

Мультипликативные алгоритмы. Датчик №2: Линейный конгруэнтный генератор Лемера 1951.

где U_i,M,Cиp–целые числа.

AmodB- остаток от деления нацелоAнаB,

A mod B =A-B*INT (A/B)

Генерируемая последовательность имеет повторяющийся цикл не превышающий pчисел.

Максимальный период получается при C0, но такой генератор даёт плохие стохастические результаты [3].

При C=0 генераторы называют мультипликативными. Они имеют лучшие стохастические параметры. Формулы их использования называют ещё методом вычетов.

Наиболее популярным для получения псевдослучайных чисел является метод вычетов по такой формуле [2]:

где U_i,M,p-целые числа, 0<R_i<1, 1U_ip-1.

Если выбрать U₀иMтакими, чтобы дляR₀=U₀/pполучалась несократимая дробь и взятьpиMвзаимно простыми, тогда всеR_iбудут несократимыми дробями вида:R_i=U_i/p.

Получим наибольшую (но не более p) длину неповторяющейся последовательности чисел. ЗначенияU₀,pиMудобно выбрать из простых чисел.

Задание:Исследовать при какихU₀,pиMдлина последовательности неповторяющихся чисел будет не менее 10000 при «хороших» стохастических параметрах. Определить влияет ли величинаR₀приMиp=constна статистические характеристики датчика. Если влияет, то определить область допустимых величинU₀. Представить результаты тестирования генератора для оптимальных величинp,MиU₀.

Датчик №3: Модификация Коробова [9].

где p- большое простое число, например 2027, 5087, …

М - целое число, отвечающее условиям:

n– целое число. Т.е. выбираемMблизким кp/2 из множества чиселM=p– 3ⁿ.

Например, для p=5087 берёмn=7. Потому что 3⁷=2187, а 3⁸=6561 будет уже большеp. Итак: М=5087-2187=2900.

Получаем числа U_iв интервале [1,p-1]=[1,5086] и числаR_iв интервале (0,1).

Задание:ПодобратьMиpпри которых получаются лучшие статистические параметры датчика и наибольшая длинаL. Выяснить влияет ли величинаR₀на стохастические характеристики датчика и, если влияет, то определить область допустимых значенийR₀. Представить результаты тестирования датчика для оптимальных значенийM,pиR₀.