7. Как получить большую длину псп чисел

Идея Хоффмана получения «бесконечной длины» ПСП чисел — перенастройка параметров «А» и «С» генератора

после каждой генерации Nчленов ПСП (N<2^m–1) с помощью, в свою очередь, ПСП порождающих чиселS₀.

Берём m = const, m = 2^k или 2^k-1.

k– целое, С – нечетное, а = 1(mod4).

Задаём S₀. Генерируем первыеNчленов

S

C = 3

a = 5

C = 5

a = 9

C = 7

a = 13

C = 9

a = 17

₀, S₁, S₂, …, S_N, S_N+1, S_N+2, …, S_2N, S_2N+1, S_2N+2, …, S_3N, S_3N+1, …

4. Псп нулей и единиц (гамма).

Считается, что «гарантированно» хорошим для криптографии способом генерации является построение гаммы рекуррентным соотношением

(2)

Здесь и ниже обозначено: С и q– двоичные числа {0, 1}, а символом «+» обозначено сложение по модулю два (логическая операцияXOR). Множество полиномов (2) составляет одно из полей Галуа, т.е. поле, над которым определено: сложение – операцияXOR, вычитание – операцияXOR, умножение – операцияAND.

Коэффициенты С₀и С_mобязаны быть равны 1. следовательно, очередное псевдослучайное число вычисляется по ф-ле:

(3)

Последовательность бит, например, байт или слово (два бита) удобно рассматривать как многочлены. Например, байт представляется полиномом 7-й степени, каждый член которого соответствует ненулевому биту в байте:

Применение полиномов упрощает рассмотрение операций с ПСП бит.

Полином f(q) называютнеприводимым, если:

f(0) = 1 иf(1) = 1 (4)

Другими словами, полином m-ой степени неприводим, если он не раскладывается на множители (полиномы) степени нижеm.

ПСП бит, вычисляемая по формуле (3), будет иметь максимальную длину периода, равную 2^m–1, если полином (2) неприводим.

Примеры неприводимых полиномови соответственно рекуррентных соотношений (3).

3-го порядка: 1 + q+q³ = 0q_i =q_i-1+q_i-3

1 + q²+q³ = 0q_i =q_i-2+q_i-3

4-го порядка: 1 + q+q⁴ = 0

1 + q+q²+q³+q⁴ = 0

5-го порядка: 1 + q²+q³+q⁴+q⁵= 0

11-го порядка: 1 + q⁹+q¹¹= 0q_i =q_i-9+q_i-11

Заметим, что все неприводимые полиномы имеют нечетное количество членов.

1. Реализация генератора гаммы на регистрах сдвига

Общая идея:

элемент (звено) задержки информации в регистре сдвига на один такт (тактовый генератор не показан)

выход = qC – элемент умножения

Линейный генератор получается, если в качестве логического преобразователя (ЛП) взять цепочку элементов сложения по модулю два.

Например, для полинома 3-го порядка q_i =q_i-1+q_i-3

Более криптостойка нелинейная схема с дополнительным ЛП.

Комбинированные генераторы ПСП бит на регистрах сдвига с обратной связью.

1. Схема Джеффа

2. Схема Брюса

Генератор ПСП бит с внутренней нелинейной логикой

Генератор ПСП бит с внешней нелинейной логикой

ПСП максимальной длины для регистров сдвига с mзвеньями

длина регистра m	номера отводов для одного логического элемента XOR	длина ПСП 2m – 1
3	3,2	7
4	4,3	15
5	5,3	31
6	6,5	63
7	7,6	127
9	9,5	511
10	10,7	1023
11	11,9	2047
20	20,17	1 048 575
24	23,22,17	16 771 215
39	39,35	549 755 813 887

При m= 100 максимальная длина гамм равна 2¹⁰⁰– 1. Для передачи её со скоростью 1 Мбайт/с период повторится лишь через ~ 10¹⁶лет.

Однако если 2mбит исходного текста известны хакеру, то 2mбит гаммы вычисляются просто, и можно определить расположение отводов С_iрегистра и его начальное состояние, если известноm.

[Диффи У., Хеллман М. Защищённость и имитостойкость. Введение в криптографию//ТИНЭР – 1979, т. 67, №3, стр. 71-104]

Распределение отводов можно определить, так как:

, (6)

где S_i– вектор-столбец изmсимволов состояния регистра вi-й момент;

А – матрица m*mположений отводов,

1-ая строка – последовательность отводов, непосредственно под главной диагональю располагаются единицы, а в остальных позициях нули.

Например, для трехразрядного регистра (Рис. 3)

Зная 2mбит гаммы, можно заm³итераций обратить формулу (6) и найти отводы.