Глава 2. Проверка качества модели.

2.1. Вычисление множественного коэффициента детерминации и скорректированного (исправленного) коэффициента детерминации, сделать вывод об адекватности модели.

Множественный коэф. Детерминации и скорректированный коэф. Детерминации имеют значения, близкие к единице, что говорит об адекватной модели. (см. приложение 1 п.2.1)

2.2. Вычисление остатков и проверка гипотезы о нормальном законе распределения остатков. (см. приложение 1. П.2.2)

2.3. Вычисление средней ошибки аппроксимации . (в п.1.4)

=0,26%

Ошибка аппроксимации имеет очень низкое значение, что говорит о хорошо подобранной модели уравнения. (см. приложение 1, п.2.3)

2.4. Проверка статистической значимости коэффициентов множественной регрессии и уравнения регрессии в целом пройдена. Все коэф. Регрессии статистически значимы (см. приложение 1, п.2.4)

2.5. Построение доверительных интервалов для статистически значимых коэффициентов регрессии.

Доверительные интервалы для параметров a и b с заданным уровнем доверия, в качестве которого на практике обычно выбирают вероятность 0,95 (соответствующую уровню значимости 0.05 или 5%).

–стандартная ошибка коэффициента регрессии ;

–критическое значение для заданного уровня значимости и заданного числа степеней свободы n 2.

;

–стандартная ошибка коэффициента регрессии .

2.6.Построение расширенной матрицы выборочных коэффициентов корреляции. Вычислениечастных коэффициентов корреляциимежду факторами

Вычисление выборочных коэффициентом частной корреляции между зависимой переменной y и объясняющей переменной x_j – .

(Выполнено в п.1.3)

Вывод. На основании анализа пунктов 4 – 10 можно сделать выводы о том, что модель адекватна, но присутствовала мультиколлинеарность, вследствие чего пришлось выполнить отбор факторов исключением одного из них (с сильной межфакторной корреляционной зависимостью).

2.7.Пошагоый отбор наиболее существенных переменных в модели множественной линейной регрессии с использованием скорректированных коэффициентов детерминациии частныхF- статистики.

Т.к. в исследовании осталось всего 2 факторных переменных, и в первую очередь была включена та, которая имеет наибольшую корреляцию с результирующим признаком, проводить отбор нецелесообразно, потому что. в любом случае, второй фактор, который в наименьшей степени влияет на результирующий, будет включён после включения первого. (см. приложение 1, п.2.7)

2.8. Проверка гипотезы о гомоскедастичности наблюдений по методу Голдфелда-Квандта и теста Спирмена.

Теоретические предпосылки.

Постоянство дисперсии случайных ошибок регрессионной модели независимо от наблюдения называется гомоскедастичностью.

Гетероскедастичность свойство дисперсии случайных ошибок регрессионной модели противоположное гомоскедастичности. Гетероскедастичность означает неоднородность наблюдений, выражающуюся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной (эконометрической) модели.

Гетероскедастичность существенно снижает качество оценок неизвестных параметров.

Теста Голдфелда-Квандта предполагает:

- возмущения являются нормально распределенными случайными величинами;

- отсутствует автокорреляция возмущений;

- средние квадратические отклонения возмущений прямо пропорциональны значениям объясняющей переменной , что часто встречается на практике и означает постоянствоотносительного разброса возмущений (а не абсолютного, как предполагается в классической модели).

Тест состоит в следующем.

1. Все наблюдения упорядочиваются в порядке возрастания значения объясняющей переменной.

2. Полученная упорядоченная выборка разбивается на три части:

первая и последняя части содержат по l наблюдений, средняя часть состоит из m = n - 2l

наблюдений.

Далее рассматриваются только две части: первая часть l наблюдений (с небольшими значениями объясняющей переменной) и третья часть l последних наблюдений (с большими значениями объясняющей переменной), а m центральных наблюдений исключаются из рассмотрения.

3. Оцениваются отдельные регрессии для первой ( l первых наблюдений) и второй ( l последних наблюдений) частей. В этом случае гипотеза гомоскедастичности равносильна тому, что значения остатков для первых и последних наблюдений представляют выборку значений нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии. Но, если верно предположение о пропорциональности дисперсий значениям объясняющей переменной (т.е. предположение о гетероскедастичности), то дисперсия (сумма квадратов остатков) для первой части будет существенно меньше дисперсии (суммы квадратов остатков) для второй части наблюдений.

4. Для сравнения дисперсий строится статистика

5. Если гипотеза гомоскедастичности верна, то F – статистика имеет распределение Фишера со степенями свободы . Для заданного уровня значимости по таблицам распределения Фишера-Снедекора определяется значение как критическая точка, соответствующая степеням свободы (k – число факторов).

Тогда:

1. Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется;

2. Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не отклоняется.

Для парной регрессии обычно предлагаются следующие размеры подвыборок:

для n = 30 значение l = 11;

для n = 60 значение l = 22 .

Тест Голдфелда-Квандта может использоваться и в случае предположения об обратной пропорциональности между дисперсией возмущений и значениями объясняющей переменной, при этом статистика F имеет вид

В случае множественной регрессии данный тест может проводиться для каждой объясняющей переменной по отдельности.

Проверка гипотезы о гомоскедастичности с помощью теста Спирмена.

Идея теста состоит в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные величины остатков (которые являются оценками возмущений) будут коррелировать со значениями объясняющей переменной .

Для проверки этого факта значения и , упорядочиваются по величине (ранжируются) и для каждого значения определяется ранг — его номер в ранжированном ряде. Далее находится коэффициент ранговой корреляции .

Вычислите коэффициент ранговой корреляции Спирмена по формуле

,

где

Проверьте статистическую значимость коэффициента ранговой корреляции с помощью выборочной статистики

Статистика распределена по закону Стьюдента сn – 2 степенями свободы.

Для выбранного уровня значимости  = 0,05 по таблице распределения

Стьюдента с n – 2 степенями свободы определяется , как критическая точка, соответствующая двусторонней критической области.

Тогда:

1) Если , то гипотезу о равенстве нулю коэффициента

ранговой корреляции отклоняется, коэффициент корреляции статистически значим и, следовательно, отклоняется гипотеза об отсутствии гетероскедастичности, наблюдения гетероскедастичны;

2) Если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности не отклоняется, коэффициент корреляции статистически незначимо отличается от нуля, наблюдения гомоскедастичны.

Если в модели несколько объясняющих переменных, то проверка гипотезы может осуществляться для каждой из них по отдельности.

(см. приложение 1, п.2.8)