Цель работы: изучение электромагнитных колебаний в последовательном RLC – контуре; исследование затухающих колебаний; снятие резонансных кривых; определение добротности полосы пропускания, резонансной частоты и декремента затухания; сравнение теоретических и экспериментальных кривых.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

(рис.4.1)

Конденсатор С, катушка индуктивности L и активное сопротивление R, соединённые последовательно, образуют колебательный RLC – контур. Электрические колебания, в контуре возбуждаются в результате периодического обмена между энергией электрического поля конденсатора и энергией магнитного поля катушки индуктивности , где и – заряд и ёмкость конденсатора, - ток в контуре, – индуктивность катушки. В результате протекания тока в контуре на активном сопротивлении R выделяется тепловая энергия, приводящая к потере энергии электрических колебаний. Заряд, сосредоточенный на обкладках конденсатора в начальный момент времени , уменьшается с течением времени и создаёт ток в контуре, изменяющийся во времени. Величину тока, протекающего в цепи при разряде, можно определить из закона Ома для неоднородного участка контура:

(4.1)

Сила тока равна скорости изменения заряда, так что (4.1) эквивалентно дифференциальному уравнению второго порядка

(4.2)

где введены обозначения:

Решение уравнения (4.2) представим в виде линейной комбинации:

(4.3)

- корни характеристического уравнения .

Из приведённой зависимости следует, что при выполнении неравенства , заряд быстро потухает во времени и колебания в контуре отсутствуют. Такой процесс называется апериодическим. Колебания в контуре существуют только при выполнении условия . Применяя формулу Эйлера для комплексных величин, заменим выражение (4.3) на сумму гармонических функций:

(4.4)

где - собственная частота затухающих колебаний в контуре. Заряд принимает только вещественное значение, так что величины и могут быть только сопряжёнными комплексными числами. Результирующую зависимость заряда от времени можно записать в виде:

(4.5)

где и - произвольные постоянные, имеющие смысл амплитуды колебаний в момент времени , - начальная фаза.

Отношение характеризует быстроту уменьшения амплитуды колебаний и называется коэффициентом затухания. При уравнение (4.2) описывает незатухающие колебания в контуре, причём определяет частоту собственных колебаний. Графики зависимости заряда от времени при различных значениях коэффициента представлены на рис. 4.2.

а) , б) в)

рис. (4.2)

В соответствии с видом функции (4.5), изменение заряда во времени можно рассматривать как гармонические колебания частоты с амплитудой, изменяющейся по закону . Отношение амплитуд в моменты времени, отличающиеся друг от друга на величину периода Т, называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания и обозначается символом :

(4.6)

логарифмический декремент затухания характеризует колебательную систему и имеет определённый физический смысл. За время , в течение которого амплитуды уменьшается в раз, система совершает колебаний. Из условия следует, что , так что логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в раз.

Для характеристики колебательной системы часто используют величину

(4.7)

которую называют добротностью колебательной системы.

Периодическая во времени внешняя э.д.с., включённая в последовательный контур, создаёт в нём вынужденные колебания. Суммируя напряжение с э.д.с. самоиндукции, получаем из (4.1) уравнение для определения заряда:

(4.8)

Общее решение уравнения (4.8) равно сумме общего решения однородного уравнения при =0 и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения определяется формулой (4.5) и затухает с ростом времени. Частное решение уравнения (4.8) найдём методом комплексных амплитуд. В соответствии с данным методом, представим уравнение в виде реальной части комплексного уравнения

(4.9)

решение которого имеет вид:

(4.10)

где .

Производная по времени от реальной части позволяет получить гармоническую зависимость тока в цепи от времени :

(4.11)

где , , (4.12)

Из последних уравнений следует, что ток отстаёт по фазе от приложенной внешней э.д.с. на угол , причём амплитуда тока достигает максимального значения при условии равенства частоты собственных колебаний в контуре частоте внешней э.д.с. В этом случае ток колеблется в фазе с приложенной э.д.с. Указанное условие называется резонансом напряжений. Резонансные кривые зависимости амплитуды тока от частоты внешней э.д.с. представлены на рис.4.3а и характеризуются полосой пропускания контура при токе . Связь между добротностью и полосой пропускания устанавливается соотношением:

(4.13)

Из уравнения (4.13) и графиков зависимости амплитуды тока от частоты следует, что с ростом сопротивления контура(активного ) добротность колебательной системы уменьшается. Рис 4.3б иллюстрирует зависимость тангенса угла от частоты.

а) б)

рис. (4.3)

Методика эксперимента.

Экспериментальная установка содержит последовательный - контур, изменение элементов которого осуществляется переключателями П1 и П2. Режим работы задаётся переключателем П3: в положении «ПЕР» - исследуются периодические затухающие и незатухающие колебания; в положении «АПЕР» апериодический процесс. Подключение внешних источников э.д.с. – генератора синусоидальных колебаний Г1 и генератора импульсов Г2 осуществляется кабелями через разъёмы, расположенные на передней панели блока. Возможно использование одного генератора с двумя каналами выхода синусоидальных и импульсных колебаний.

В качестве регистрирующего прибора используется осциллограф, подключённый кабелем к разъёму «ОСЦ» на передней панели блока. Градуировка вертикальной развёртки осциллографа осуществляется с учётом активного сопротивления нагрузки на его входе Калибровочное напряжение с соответствующего выхода осциллографа или от внешнего генератора Г1 подаётся на вход и определяется масштаб вертикальной оси, равной отношению амплитуды сигнала к числу делений (В\дел). Пересчёт этого масштаба в величину отношения тока в цепи к числу делений сигнала (А\дел) осуществляется по формуле:

(4.14)

Калибровка горизонтальной оси времени осуществляется аналогичным образом: импульс определённой длительности с выхода генератора Г2 подаётся на вход осциллографа, регулировкой длительности развёртки находится стабильная картина, определяется длительность импульса в делениях масштабной сетки и по ней определяется масштаб горизонтальной развёртки:

(4.15)

В отдельных моделях осциллографа соответствующие масштабы указаны на делителях вертикального и горизонтального отклонения, так что операции калибровки осей не производятся. Суммарное активное сопротивление контура зависит от положения переключателя П2:

(4.16)

Из формулы (4.12) следует, что при резонансе для двух значений активных сопротивлений контура выполняется закон Ома:

из которого получают формулу для расчёта активного сопротивления индуктивности:

, (4.17)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

I. Экспериментальное исследование вынужденных колебаний.

1. Включить все электронные блоки установки, откалибровать вертикальную и горизонтальную развертки осциллографа или выбрать соответствующий масштаб с помощью делителей.

2. Подключить кабелем к установке генератор синусоидальных колебаний Г1, задать напряжение на его выходе и при дальнейших измерениях его не менять.

3. Переключатель П3 поставить в положение «ПЕР», задать переключателем П1 величину С1, а переключателем П2 – значение сопротивления нагрузки R1. Изменяя частоту колебаний верньером генератора, снять зависимость U на входе осциллографа в делениях масштабной сетки от частоты .

4. Изменить переключателем П2 сопротивление R1 на R1+R2 и проделать измерение п.3.

5. Изменить переключателем П2 сопротивление R1 на R1+R2+R3 и проделать измерение п.3.

6. Аналогичные измерения п. 3, 4, 5 можно проделать в положении переключателя П1 – «С2».

II. Исследование затухающих колебаний.

1. Подключить генератор импульсных колебаний Г2 и задать длительность, амплитуду и период повторения импульсов, переключателем на панели генератора.

2. Делителем горизонтальной развертки добиться устойчивой картины затухающих колебаний.

3. В положении переключателя П3 «ПЕР», П1 – «С1», для активного сопротивления, устанавливаемого переключателем П2, измерить амплитуду затухающих колебаний в делениях вертикальной масштабной сетки через период для 10 периодов и длительность одного периода в делениях горизонтальной масштабной сетки.

4. Изменить переключателем П2 сопротивление R1 на R1+R2 и проделать измерение п.3.

5. Изменить переключателем П2 сопротивление R1 на R1+R2+R3 и проделать измерение п.3.

6. Аналогичные измерения п. 3, 4, 5 можно проделать в положении переключателя П1 – «С2».