лабораторная работа / индуктивность

Цель работы: изучение закона электромагнитной индукции, расчет индуктивности короткого соленоида; проверка закона Ома для цепи постоянного и переменного тока с индуктивностью и активным сопротивлением; экспериментальное определение индуктивности короткого соленоида и магнитной проницаемости сердечника.

Основные понятия

1. При любом изменении магнитного потока  через поверхность, ограниченную проводящим контуром, между точками 1 и 2 проводника возникает ЭДС индукции, численно равная скорости изменения магнитного потока (закон Фарадея):

(1)

Рис. 1.

Из уравнения (1) следует, что поток магнитной индукции может изменяться как при движении контура в стационарном магнитном поле, так и за счет изменения индукции магнитного поля во времени. Знак минус выражает правило Ленца: ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего этот ток.

В отсутствии внешнего магнитного поля электрический ток, текущий в контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна току в контуре. Если в контуре протекает переменный ток, то сцепленный с ним магнитный поток будет изменяться во времени и между точками 1 и 2 возникает ЭДС индукции. Данное явление называется самоиндукцией. Магнитный поток при самоиндукции пропорционален току в контуре

(2)

так что закон Фарадея можно записать в следующей форме:

(3)

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура и зависит только от его геометрических размеров. Индуктивность определяется из закона Био-Савара-Лапласа в результате интегрирования по длине проводящего контура l с учетом выражения (2) для потока магнитной индукции:

, (4)

где =410^-7 Гн/м – магнитная проницаемость вакуума, - радиус-вектор, проведенный из элемента контура в элемент ds поверхности S, ограниченной данным контуром, индекс «n» означает проекцию векторного произведения на нормаль к поверхности.

2. Получим формулу для расчета индуктивности короткого соленоида, длина которого l соизмерима с его радиусом .

Индукция магнитного поля в точке 0 на оси соленоида, создаваемая участком намотки dx пропорциональна числу витков на данной длине:

, (5)

где b₀ – индукция, создаваемая одним витком, n – число витков на единице длины. В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа ток, протекающий в элементе dl проводящего контура, создает в точке 0 индукцию

(6)

Интегрируя уравнение (6) по длине витка, получаем выражение для индукции магнитного поля, создаваемой одним витком:

(7)

В результате интегрирования (5) по всем значениям x в интервале от l₀ до l-l₀ и замены переменных x=ctg , получаем следующее выражение для индукции магнитного поля на оси соленоида:

(8)

При вычислении индукции магнитного поля реального соленоида необходимо учитывать не только зависимость B от l₀, но и неоднородность поля по сечению соленоида. Для расчета индуктивности короткого соленоида, магнитная индукция которого зависит от его сечения, можно использовать приближенную формулу:

(9)

Для длинного соленоида (l>>p) формула (9) существенно упрощается и имеет следующий вид:

(10)

Индуктивность катушки, заполненной магнетиком с магнитной проницаемостью, рассчитывается по формулам:

(11)

(12)

3. Определим величину переменного тока в цепи, состоящей из катушки индуктивности с активным сопротивлением r_L, подключенной к источнику переменного напряжения u.

Р ис. 2.

Практическая часть

1. В положении переключателя «R» проверяем закон Ома для цепи постоянного тока. При различных положениях ручки потенциометра регистрируем ток i₀ и напряжение u₀ на активном сопротивлении катушки.

i0(mA)	32	56	76	108	132	160	188
u0(В)	1	2	3	4	5	6	7

*** r_L=0,04110³=41(Ом)

2. Снимаем зависимость тока в цепи переменного тока от напряжения на катушке u_m в положении «Z» переключателя.

im(mA)	21	39	54	66	81	96	108
um(В)	1	2	3	4	5	6	7

*** Z_L=0,07410³=74(Ом)

3. Аналогичные измерения в п.2 проводим для катушки со стальным сердечником, который ввинчивается в катушку индуктивности на правой панели прибора.

im(mA)	17	26	30	38	45	53	59
um(В)	1	2	3	4	5	6	7

*** Z=0,143210³=143,2(Ом)

---***---***---***---***---***---***---***---***---***---***---***---***---***--

Обработка результатов эксперимента

L₀==0,19(Гн)

L_=0,43(Гн)

=

по ф.(11) L=0,41(Гн)

Погрешности

(r_L)_n=41