Вопрос 11 Закон сохранения момента импульса

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

, откуда L=const

закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Вопрос 12 Механические колебания

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).

Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

s = A cos (ω0 + φ),

(1.81)

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, ω₀ – круговая (циклическая) частота, (φ – начальная фаза колебания в момент времени t = 0, (ω₀t + φ) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2π, т. е.

ω0(t+T)+φ =(ω0t +φ)+2π

(1.82)

откуда

Т=2π/ω0.

(1.83)

Величина, обратная периоду колебаний,

ν = 1/T

(1.84)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (1.83) и (1.84), получим

ω0=2πν.

(1.85)

Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

ds /dt = -Aω0 sin(ω0 t +φ) = Aω0 cos (ω0t +φ+π/2);	(1.86)
d2s / dt2 = -Aω02 cos (ω0 t + φ)= Aω02cos (ω0 t+φ+π ),			(1.87)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (1.86) и (1.87) соответственно равны Аω₀ и Аω₀². Фаза величины (1.86) отличается от фазы величины (1.81) на π/2, а фаза величины (1.87) отличается от фазы величины (1.81) на π. Следовательно, в моменты времени, когда s = 0, ds/dt приобретает наибольшие значения; когда же s достигает отрицательного максимального значения, то d²s /dt² приобретает положительное наибольшее значение (рисунок 1.53).

Из выражения (1.87) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(1.88)

 (где s=A cos (ω₀t +φ)).

Решением этого уравнения является выражение (1.81).

Вопрос 13 Идеальный газ

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим идеальный одноатомный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку S (рисунок 2.5) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс

m0v–(–m0v)=2m0v,

(2.21)

где m₀ – масса молекулы, v – ее скорость. За время t площадки S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием S и высотой vt (рисунок 2.5). Число этих молекул равно nSvt (n – концентрация молекул).

Необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке S под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул. Половина этих молекул (т.е. 1/6 часть) движется вдоль данного направления в одну сторону, а вторая половина – в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку S будет 1/6  nSvt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

P = 2m0v1/6nSvt = 1/3nm0v2St

(2.22)

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

P = P/(tS) = 1/3nm0v2.

(2.23)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v₁, v₂, ..., v_N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость

<vкв>=,

(2.24)

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (2.23) с учетом (2.24) примет вид

p = 1/3nm0<vКВ>2.

(2.25)

Выражение (2.25) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

PVm = RT

Уравнению

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона – Менделеева.

В молекулярно-кинетической теории пользуются моделью идеального газа, согласно которой считают, что:

1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов в условиях, близких к нормальным (например, кислород и гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах.