Вопрос 31: Уравнение Шредингера.

Э. Шредингер (1926) постулировал фундаментальное соотношение – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, справедливость которого (как и всяких постулатов) подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов. Уравнение Шредингера – нерелятивистское уравнение относительно основной характеристики состояния микрообъектов – волновой функции ψ(r,t) – и имеет вид

, (79)

где ħ = h/(2π), m – масса частицы, Δ – оператор Лапласа ,i – мнимая единица, U (r,t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором частица движется. Это уравнение называют временным уравнением Шредингера. Если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U (r) не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии, то решение уравнения (79) можно искать в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени: ψ(r,t) = ψ(r)·φ(t) (80)

Подставив функцию (80) в уравнение Шредингера (79) и разделив левую и правую части на произведение ψ(r)·φ(t), получим

(81)

Так как левая часть уравнения (81) зависит только от r, а правая – только от t, то их можно приравнять одной и той же постоянной разделения, в качестве которой, как можно показать, можно выбрать Е – полную энергию частицы. Таким образом,

(82)

(83)

Уравнение (82) называют стационарным уравнением Шредингера. Его обычно записывают в более удобном виде:

(84)

Явный вид стационарного уравнения Шредингера определяется конкретной зависимостью U (r).

Решая уравнение (83), получаем, что , (85)

где С – произвольная постоянная. Подставляя (85) в (80), видим, что в случае стационарного силового поля состояние частицы описывается волновой функцией

[постоянная С включена в функцию ψ(r)], откуда следует, что стационарность состояния не исключает зависимости волновой функции от времени, а только ограничивает ее гармоническим законом . В стационарном состоянии плотность вероятности выражается только через ψ(r) и не зависит от времени. Общепринято ψ(r) также называть волновой функцией, хотя она является только координатной (амплитудной) частью волновой функции ψ(r,t) стационарного состояния. Временное уравнение Шредингера имеет вид [см. (79)]

, (102)

где ψ = ψ(x,y,z,t). С учетом того, что гамильтониан , уравнение (102) примет вид (103)

– уравнение Шредингера в операторной формеПодставив в стационарное уравнение Шредингера

оператор полной энергии [см. (101)] ,

получим стационарное уравнение Шредингера в операторной форме: (104)

Вопрос 29: Принцип неопределенности Гейзенберга.

Во многих случаях классические представления неприменимы для описания микрообъектов. В. Гейзенберг (1927) выдвинул идею о принципиальной невозможности измерения определенных пар связанных между собой характеристик частицы так, чтобы они одновременно имели точные значения. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно точных значений координаты (х, у, z) и компонентов импульса (р_х, p_y, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условию

Δx·Δp_x ≥ ħ,

Δy·Δp_y ≥ ħ, (74)

Δz·Δp_z ≥ ħ,

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка ħ. Следовательно, чем меньше неопределенность одной из величин (х, у, z или р_х, р_у, p_z), тем больше неопределенность другой. В квантовой теории важна еще одна пара канонически сопряженных величин, для которой соотношение неопределенностей (соотношение неопределенностей для энергии и времени) имеет вид

ΔEΔt ≥ ħ, (75)

где ΔЕ – неопределенность энергии некоторого состояния системы, Δt – промежуток времени, в течение которого оно существует. Поэтому если в классической механике наличие координат и импульсов (скоростей) системы точно задает ее поведение во времени и пространстве, то предсказание поведения квантовой системы должно носить вероятностный характер.