1 (производная)
.pdfВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ или производной второго порядка называется производная от ее первой производной.
Вторая производная функции есть мгновенное ускорение амгн прямолинейно движущейся точки в момент времени t.
y
Обозначения производных высших порядков
d |
|
dy |
|
d |
2 |
y |
|
|
d |
3 |
y |
|
|
|
|
d |
n |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(n) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
; … |
|
|
n . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dx |
|
dx |
|
dx |
2 |
|
dx |
3 |
|
|
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач
Пример 1. Найти приращение функции y sin 2x при x |
|
и |
x |
|||||
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: |
Так как |
приращение |
функции |
вычисляется |
по |
|||
y f f x0 x f x0 , |
то подставим значение аргумента |
и |
||||||
приращения |
аргумента |
в |
данную |
|
|
|
2
формуле
значение
формулу
y f |
|
|
|
|
sin |
|
sin |
5 |
sin |
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
3 |
|
sin |
3 |
2 |
|
3 |
6 |
3 |
2 |
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти производную функции |
y sin |
|
3 |
Решение: Рассмотрим цепочку функций у = u3, используя формулу производной сложной
.
(5x 2)
u = sin v, v = 5x+2, тогда,
функции, получим
y |
y u |
v |
15sin |
2 |
(5x 2) cos(5x 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
u |
|
v |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислите дифференциал функции y ln sin 3 |
3x |
|||||||||||||||||||||||
|
Решение. По определению дифференциала имеем |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dy d ln sin |
3 |
3x |
|
1 |
d sin |
3 |
3x |
|
1 |
3sin |
2 |
3x d sin 3x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
|
3x |
|
|
|
|
sin |
3 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
3sin |
2 |
3x cos 3x d 3x |
|
1 |
|
3sin |
2 |
3x cos 3x 3dx |
9ctg3x dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
sin |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Большинство процессов в природе подчинено законам, выражающим зависимость между несколькими аргументами, один из которых функционально связан с остальными. Примерами таких зависимостей являются, например, ускорение движения материальной точки, определяющейся вторым законом Ньютона, или зависимость давления идеального газа от его массы. Абсолютной температуры и объема.
Мы изучим функции нескольких переменных на примере функции двух переменных.
Переменная z называется функцией двух аргументов x и |
y, если |
некоторым парам значений x, y по какому-либо правилу или закону |
ставится |
в соответствие определенное значение z.
Функция обозначается z |
f x, y |
|
|
Разность |
f x x, y f x, y |
называется частным приращением функции |
|
z f x, y по аргументу х и обозначается x f = f x x, y f x, y . |
|||
Разность |
f x, y y f x, y называется частным приращением функции |
||
z f x, y по аргументу у и обозначается y f = f x, y y f x, y . |
|||
Разность |
f x х, y y f x, y |
называется полным приращением |
функции |
z f x, y по аргументу у и обозначается |
f = f x х, y y f x, y . |
Множество пар значений, которые могут принимать аргументы х и у называется областью определения функции z=f(x,y).
|
Частной |
производной |
|
первого |
порядка |
|||||||||||
аргументу |
x |
в |
|
рассматриваемой |
точке |
x, y |
||||||||||
lim |
|
x |
f |
lim |
f x x, y |
f x, y |
, если он существует. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Обозначение: |
zx , |
z |
, |
f |
, f x |
x, y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
Частной |
производной |
|
первого |
порядка |
|||||||||||
аргументу |
y |
в |
|
рассматриваемой |
точке |
x, y |
||||||||||
lim |
y |
f |
lim |
f x, y y |
f x, y |
|
, если он существует. |
|||||||||
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||
y 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Обозначение: |
z y , |
z |
, |
f |
, f y |
x, y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
функции |
z |
называется
функции |
z |
называется
f
f
x, y по предел
x, y по предел
Для вычисления частных производных нужно пользоваться рассмотренными правилами и формулами дифференцирования, учитывая в каждом случае какой из аргументов служит переменной дифференцирования, а какой будет постоянной.
Физический смысл частной производной функции нескольких переменных по какому-либо из ее аргументов характеризует скорость изменения данной функции при изменении данного аргумента.
Пусть функция z f x, y имеет две непрерывные частные производные
f / x, f / y .
f x,
f x,
Произведение |
f |
dx называют |
частным |
дифференциалом |
функции |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
||
y по х и обозначают dx f . |
|
|
|
|||
Произведение |
f |
dy называют |
частным |
дифференциалом |
функции |
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
y по у и обозначают d y f .
Сумму частных дифференциалов функции z
дифференциалом и обозначают df d x f d y f или
f x, df
y называют ее полным |
||||
f |
dx |
f |
dy |
|
x |
y |
|||
|
|
Примеры решения задач
f
Пример x, y ln
1. |
Вычислите |
частные |
производные |
функции |
y sin 3x x |
|
|
|
Решение. Для вычисления частных производных следует помнить, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу считать в выражении функции только этот аргумент переменной величиной, а остальные постоянными, и применить формулы дифференцирования функций одного аргумента.
f x' x, y ln y sin 3x x 'x (считаем |
у |
постоянной |
величиной, |
следовательно ее можно вынести за знак производной в первом слагаемом)=
|
|
' |
1 |
ln y 3cos3x 1 |
||||
ln y sin 3x |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
' |
x, y |
ln y sin 3x x |
' |
|
|||
y |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
(считаем
х постоянной величиной –
следовательно ее можно вынести за знак производной в первом слагаемом, а второе слагаемое представляет собой постоянную величину – следовательно
ее производная равна нулю)=
sin 3x ln y |
' |
0 |
|
sin 3x |
|
|
|||||
y |
y |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
f
x,
Пример y ln y sin
3. |
Вычислите |
полный |
дифференциал |
функции |
3x x |
|
|
|
|
Решение. |
По |
определению |
полного |
дифференциала |
||||
функции df |
d x f |
d y f . |
Следовательно |
требуется |
найти |
частные |
||
дифференциалы функции. |
|
|
|
|
||||
Так как dx |
f = |
f |
dx , а частную производную по х для данной функции мы |
|||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
' |
|
|
нашли в предыдущем примере, то d x |
f |
ln y sin 3x x x dx ln y 3cos 3x 1 dx . |
Аналогично
Получаем df d x
,
f
d y
f
d
y |
f |
|
f |
dy |
|
y |
||
|
||
ln y |
ln y sin 3x x 3cos 3x 1 dx
dy
sin 3x y
|
|
sin 3x |
dy |
sin 3x ln y |
0 dy |
|
|
|
|
y |
|
dy |
|
|
|
Контрольные задания:
1) Вычислить производные первого порядка функций
1) |
y 3х5 arcsin x ; |
|
y |
ex |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
y x2 log3 |
x |
; |
|
|
ln x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
5) |
y |
; |
||
|
|
ln 4 |
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
1 tgx |
||||||
3) |
sin x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
6)
7)
8)
9)
10)
11)
y |
log |
2 |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y sin |
6 |
x |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
1 6sin x ; |
|
||||||
y sin ln 5x ; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
y ln |
1 |
||||
|
|
|
|
y 3 |
sin |
x |
|||
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
3 |
|
4 |
|
;
;
12)
13)
14)
15)
y arcsin sin 5x ; |
|
|
|||||||
y log |
2 |
x |
2 |
4x 5 |
|
||||
3 |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y arctg x |
1 x |
2 |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
2) Вычислить дифференциалы первого порядка функций
|
y |
1 |
|
|
|
|
cos2x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|||||||
2) |
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
y |
2 |
x |
|
|
|
x |
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
|
sin |
2 |
3x |
; |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
y ln |
2 |
cos x |
; |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Найдите частные производные первого порядка функций
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
|
|
|
|
|
|
3 |
2x |
2 |
|
8y |
|||||
f x, y 2yx |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
f x, y ln x |
2 |
y |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f x, y x |
5 |
ln y 5sin x ; |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
f x, y ytgx ln x |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f x, y ye3x ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
f x, y |
e |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x, y |
2 |
|
|
|
3 x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
8 |
|
; |
|
|||||
f x, y |
|
|
|
y |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x, y y3x 4 ;
f x, y sin y x ;
f x, y ln y ln x ;
12) |
f |
|
|
|
1 |
|
|
x, y e |
yx |
2 |
||
|
||||
|
|
|||
|
|
|
;
13) |
f x, |
|
14)f x,
y
y
x2
ln e
y |
|
5 |
|
|
; |
y cosx ;
4) Найдите полный дифференциал функций
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
f x, y f x, y f x, y f x, y f x, y
f x, y f x, y
1 |
|
|
|
|
cos 2 y |
|||||
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cos x y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
3 |
x2 |
y |
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
x |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin |
2 |
3y |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
2 |
|
y cos x |
; |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3xy |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
5)Материальная точка движется вдоль оси Ох по закону x Asin2 t 4 где А, ω – постоянные. Определить закон скорости и ускорения движения точки.
,
6) Уравнение движения точки имеет вид |
s t 4 2t t |
2 |
0.2t |
3 |
(м). найти: 1) |
|
|
положения точки в моменты времени t1=2 с, t2=5c; 2) среднюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.
7) Зависимость между количеством х вещества, полученного в некоторой
химической реакции, и временем t выражается уравнением где A и k – постоянные. Определить скорость реакции.
x
A(1
e |
kt |
|
)
,
8)Зависимость объема V газа, масса которого постоянна, от температуры T и давления р выражается формулой V=RT/p, где R – постоянная. Найти
V |
T |
и V p и показать, что
p |
V |
T |
V |
|
p |
T |
|||
|
|
0
.
9)Скорость химической реакции под действием ультразвука определяется
формулой A 2 E , где А – постоянная, Е – звуковая энергия,
V t
поглощенная в объеме V за время t. Записать уравнение скорости υ
химической реакции для E BV sin |
2 |
t , где В и ω – постоянные. |
|
10) При лечении некоторого заболевания одновременно назначаются два препарата. Реакция организма (например, понижение температуры) на дозу х первого препарата и дозу y второго препарата описывается
зависимостью |
f x, y x |
2 |
y |
2 |
a x b y , где а и b – постоянные. |
|
|
Определить дозу y второго препарата, которая вызовет максимальную реакцию при фиксированной дозе х первого препарата.