Контрольные задания:

1. Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3 цветных? Не более трех цветных?

2. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:

а) два мальчика,

б) не более двух мальчиков,

в) более двух мальчиков,

г) не менее двух и не более трёх мальчиков.

3. Проблема Джона Смита. В 1693г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму – не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему – не менее трех шестерок при 18 бросаниях. Задача была решена Ньютоном и Толлетом, показавшими, что первый человек имеет больше шансов на выигрыш, чем второй, а второй больше, чем третий. Получить этот результат.

4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

5. Вероятность появления события в каждом из 100 испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:

а) не менее 75 и не более 90 раз,

б) не менее 75 раз,

в) не более 74 раз.

6. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,02?

7. Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,02. Сверла укладывают в коробку по 100 штук. Найти вероятность того, что в коробке окажется не более трех бракованных сверл.

8. Производится 1000 однородных опытов. Предполагается, что в каждом независимом испытании вероятность отрицательного результата – 0,003. Найти вероятность того, что отрицательных результатов будет:

а) ровно два,

б) менее двух,

в) более двух,

г) хотя бы один.

Задания для домашней работы:

1. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:

а) три партии из четырёх или пять из восьми?

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?

2. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится:

а) 1400 раз,

б) не менее 1470 и не более 1500 раз?

3. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Проведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,04.

4. Среди деталей, изготавливаемых участком, 0,1% бракованных. Детали укладываются в ящики по 200 штук. Чему равна вероятность того, что в ящике будет не более трех бракованных деталей?

Тема №7 «Дискретные случайные величины»

Цель: познакомиться с понятием дискретной случайной величины, научиться составлять закон и функцию распределения дискретной случайной величины, находить её основные характеристики.

Краткие теоретические сведения:

Случайная величина – это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Непрерывная случайная величина – это величина, бесконечное, несчетное множество значений которой есть некоторый интервал числовой оси.

Случайные величины обозначаются большими латинскими буквами X, Y, Z, а их значения маленькими - x, y, z.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения задаётся в виде таблицы.

			…
			…

- условие нормировки.

Используя таблицу можно закон распределения дискретной случайной величины изобразить графически в виде многоугольника (полигона) распределения.

Другая форма закона распределения – функция распределения , которая представляет собой вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее наперёд заданного х, то есть .

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая линия, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Свойства функции распределения:

1) 0≤F(x) ≤1,

2) функция распределения есть неубывающая функция,

3) F()-F().

4) , .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности .

Свойства математического ожидания:

1) ,

2) ,

3) ,

4) (для независимых случайных величин)

5) ,

6) .

Вероятностный смысл: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайный величины.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания или .

СКО (средним квадратическим отклонением) случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии .

Свойства дисперсии:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5)

Вероятностный смысл: дисперсия – степень рассеяния значений случайной величины около её математического ожидания.

Модой случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой случайной величины Х называется ее значение, находящееся в центре ряда распределения.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины: .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k -й степени отклонения этой величины от ее математического ожидания: .

- коэффициент асимметрии.

- эксцесс.

Пример. В семье трое детей. Случайная величина Х - число мальчиков в семье. Требуется:

а) найти закон распределения случайной величины Х,

б) построить многоугольник распределения случайной величины Х,

в) найти её функцию распределения ,

г) построить график ,

д) найти вероятность события Р(1<Х≤3)

е) найти М(Х), D(X), (X).

Решение: В семье может быть один, два, три или не быть мальчиков, то есть случайная величина Х принимает значения 0, 1, 2, 3.

Пусть А_i- событие, состоящее в том, что i-тый ребёнок мальчик, i=1,2,3.

Р(Х=0)=Р(Ā₁Ā₂Ā₃)=,

Р(Х=1)=Р(А₁Ā₂Ā₃+Ā₁А₂Ā₃+Ā₁Ā₂А₃)=,

Р(Х=2)=Р(Ā₁А₂А₃+А₁Ā₂А₃+А₁А₂Ā₃) =,

Р(Х=3)=Р(А₁А₂А₃) =.

а) закон распределения случайной величины Х имеет вид:

	0	1	2	3

б)

в)

г)

д) Р(1<Х≤3)=Р(Х=2)+Р(Х=3)= +=.

е) М(Х)=,

М(Х²)= ,

D(X)=3-1,5²=0,75,

=.