Краткие теоретические сведения:

Статистической оценкой (статистикой) неизвестного параметра  распределения генеральной совокупности называют функцию результатов наблюдений *.

Статистическая оценка * является случайной величиной.

Оценка, определяемая одним числом, зависящим от выборочных данных, называется точечной.

Требования, предъявляемые к точечным статистическим оценкам:

1) состоятельность (стремление по вероятности к оцениваемому параметру при ),

2) несмещённость (отсутствие систематических ошибок при любом объёме выборки (*) = ),

3) эффективность (среди всех возможных оценок эффективная оценка обладает наименьшей дисперсией).

Точечные оценки генеральных параметров нормально распределённой совокупности:

Генеральный параметр	Точечная оценка
	- выборочная средняя
	- исправленная дисперсия
	- исправленное среднеквадратическое отклонение

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность точечной оценки.

Точностью оценки называется отклонение по модулю * от .

Предельной ошибкой выборки называется максимально допустимое по модулю отклонение * от .

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки * называют вероятность , с которой осуществляется неравенство |  *|<. Обычно = 0,95; 0,99; 0,999…

Вероятность того, что неизвестный параметр не попадёт в интервал |  *|<, равна - уровню значимости.

Доверительным называется интервал (*-;*+), который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью .

Интервальные оценки параметров нормального распределения:

1) Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии .

, где находят из таблицы функции Лапласа, учитывая .

2) Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .

Рис.:

, где находят из таблицы коэффициентов Стьюдента.

3) Доверительный интервал для дисперсии при известном .

, где  находят из таблицы распределения при 1-,  находят при с числом степеней свободы .

4) Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .

, где  находят из таблицы распределения при 1-,  находят при с числом степеней свободы .

Пример 1. Вычислить несмещённые оценки параметров генеральной совокупности по выборочным данным:64 63 71 68 73 71 74 73 70 75 68 67 73.

Решение.

,

,

,

.

Пример 2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения при уровне значимости 0,05, если из генеральной совокупности сделана выборка, используемая в примере 1.

Решение. Используем данные из примера 1 для нахождения доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии:

,

где

.

Используем данные из примера 1 для нахождения доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании:

,

где =()==4,4 и =

,

Контрольные вопросы:

1. Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения.

2. Точечная оценка.

3. Требования к точечным оценкам: несмещённость, состоятельность, эффективность.

4. Генеральная и выборочная средняя.

5. Генеральная и выборочная дисперсии.

6. Поправочный коэффициент. Исправленная выборочная дисперсия.

7. Генеральное среднеквадратическое отклонение и его точечная оценка.

8. Оценка дисперсии и СКО выборочной средней.

9. Интервальная оценка неизвестного параметра генеральной совокупности.

10. Доверительная вероятность и уровень значимости.

11. Доверительный интервал.

12. Правило нахождения доверительного интервала.

13. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии .

14. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии .

15. Доверительный интервал для дисперсии при известном .

16. Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном .