9. Динамическое описание систем

Состояние системы, которая выпускает изделия – характеризуется числом изделий z(t), выпущенных к данному моменту времени t, z - это совокупность некоторых неотрицательных чисел.

В общем случае будем предполагать, что состояние Я рассматриваемой системы описывается некоторым набором объектов z₁, z₂, …, z_N, таких, что z_iZ_i, где Z_i – заданные множества i=1,2,…,n.

Рассмотрим прямое произведение

Если z_i – множество точек числовой прямой, то можно рассматривать как множество точекплоскости;- как множество точектрехмерного пространства. А множество точекиз- как множество точекn–мерного пространства. Множество Z называется пространством состояния системы (на рис.9.1 заштрихованная область):

Рис.9.1. Пространство состояний системы

Множество Z характеризуется координатами , гдеz₁ – множество точек интервала (0,) на оси Z₁; z₂ - множество точек интервала (0,) на оси Z₂.

Произведение , есть множество точек прямоугольника с вершинами (0,0), (0,), (,), (,0). Из рис.9.1 видно, что множество Z является подмножеством множества точек .

Состояние системы Z(t) в времени t есть точка или вектор пространства с обобщенными координатамиz₁, z₂, …, z_N.

В некоторых случаях рассматривается также пространство U=T, точками которого являются упорядоченные пары (t, ). Такое пространство называютфазовым пространством системы

(t, )=(t, z₁, z₂, …, z_N).

9.1. Модели систем в терминах «вход-выход»

На вход системы могут поступать входные сигналы , где- множество входных сигналов системы. Входной сигнал, поступающий в систему в момент, обозначается.

В общем случае предполагается, что входной сигнал описывается набором объектов() , где- заданное множество.

Прямое произведение , называетсяпространством входных сигналов. Здесь - элементарные оси, входной сигнал представляет собой точку пространства, описываемую координатами.

Будем предполагать , что множеству принадлежит ипустой сигнал , означающий отсутствие сигнала в момент, если.

Рассмотрим отображение , сопоставляющее каждомунекоторый(отображение). Обозначим черезмножество моментов времени(включено), такое , что для любогосправедливо. Отображениебудем называтьвходным процессом системы , а совокупность упорядоченных пар для всех( где) -входным сообщением.

Чтобы задать конкретный входной прочес , достаточно указать соответствующее ему входное сообщение.

Сужение отображения на множество(пересечение множестви, состоящее из общих элементов) будем называтьотрывком входного сообщения, поступающим в систему за полуинтервал , и обозначать.

Множество должно удовлетворять требованию, связанному ссочленением входных сообщений. Пусть идва сообщения из множества. Пусть далеегде, тогда отрывки сообщенийиможно рассматривать как отрывок.

Для конечного множества , входное сообщение имеет вид:.

Система способна выдавать выходные сигналы , где- множество выходных сигналов системы. Выходной сигнал, выдаваемый системой в момент, обозначается.

Если выходной сигнал описывается набором характеристик, такой , что,, то произведениеназываетсяпространством выходных сигналов системы. По аналогии с входным процессом вводиться понятие выходного процесса , а также определяется выходное сообщениеи отрывок выходного сообщения.