Радиотехнические цепи и сигналы. Лазаренко С.В / РТС Заочники 2014 / Лекции РТС / Лекция РТС №9

12

Лекция №9

Тема: Погрешности радионавигационных определений

Цель: изучить основные погрешности, возникающие при реализации алгоритмов местоопределения.

Содержание:

1. Источники и описание погрешностей.

2. Погрешности определения поверхностей и линий положения.

3. Погрешность определения объекта позиционным методом.

Литература:

[2] стр. 33-37

[7] стр. 229-232.

1. При оценке точности РНС различают погрешности измерения НП, которые по существу определяются погрешностями измерения информативного параметра радионавигационного сигнала, и погрешности определения соответствующих навигационных элементов, среди которых важнейшим является местоположение объекта. Погрешности РНС зависят прежде всего от метода, положенного в основу построения РНС, от особенностей технической реализации РНС, от условий их эксплуатации. В зависимости от причин, порождающих погрешности, их можно разделить на четыре группы.

К первой группе относят методические погрешности. Они обусловлены неточностью исходных математических моделей, описывающих сигналы и измеряемые процессы и несовершенством метода измерений и алгоритмов, являющихся основой построения РНС. Например, в ряде случаев при разработке алгоритмов обработки принимаемых радионавигационных сигналов не учитываются динамика подвижного объекта в процессе измерения, изменения условий распространения радиоволн и т. д.

Во вторую группу включают инструментальные погрешности, вызванные несовершенством радионавигационной аппаратуры, и, в частности, тем, что принятые алгоритмы не могут быть точно реализованы. Причинами инструментальных погрешностей являются схемные и конструктивные недостатки устройств, недостаточная чувствительность индикаторов, погрешность регулировок и т. д.

Третью группу составляют погрешности, вызванные условиями, в которых проводятся измерения. Источниками этих погрешностей являются: внешние помехи, условия распространения радиоволн, тряска и вибрация ЛА, турбулентность атмосферы и т. д.

В четвертую группу входят субъективные погрешности, зависящие от натренированности оператора, совершенства его органов чувств и степени профессиональной подготовки.

По характеру проявления погрешности РНС делятся на систематические и случайные.

Систематические погрешности являются постоянными или меняющимися по определенному закону. Они вызываются причинами, которые действуют вполне определенным образом. Такие погрешности независимо от числа измерений имеют одно и то же значение и один и тот же знак. Их влияние в ряде случаев может быть установлено и заранее учтено. Примерами являются погрешности градуировки; погрешности за счет изменений условий распространения радиоволн днем и ночью.

Случайные погрешности вызываются большим числом причин, действующих при каждом отдельном измерении различным образом. Такие погрешности при измерениях полностью устранить не удается, но используя соответствующие методы приема и обработки радиосигналов, их можно существенно снизить.

Обычно погрешность , так же как и измеряемый параметр , является функцией времени, т. е.

,

где - истинное значение измеряемого параметра; - его оценка, полученная в результате измерения.

Исчерпывающее статистическое описание содержится в многомерных ПВ, однако на практике чаще используют лишь среднее и дисперсию .

Когда погрешность соответствует эргодическому случайному процессу, статистическое усреднение при вычислении показателей точности и заменяют усреднением по времени, а вместо корреляционной функции погрешности находят её спектральную плотность .

Для характеристики точности измерителя используют средний квадрат погрешности

или среднеквадратическое значение

Эти показатели определяют точность системы лишь в среднем и не позволяют судить о том, сколь часто возможны погрешности, превышающие их усредненные значения. Поэтому точность зависит также от вероятности того, что погрешность не превысит допустимого значения .

В связи с большим числом разнообразных причин, влияющих на измерение РНП, можно считать, что погрешность измерений, согласно центральной предельной теоремы, имеет нормальное распределение и вероятность полностью задается значениями и . Так, вероятность того, что погрешность несмещенных измерений не превысит , равна 0,683. Часто точность характеризуют максимальной погрешностью, равной и соответствующей вероятности , и ее предельным значением при вероятности . В последующем случае только 0,3 % измерений имеют погрешность, превышающую .

2. В радионавигации широко применяют позиционный метод определения положения объекта в пространстве, точность которого зависит от погрешностей фиксации поверхностей и линий положения, которые в свою очередь, обуславливаются погрешностями измерения навигационных параметров.

Погрешность в определении поверхности (линии) положения равна расстоянию по нормали между двумя поверхностями (линиями) положения, соответствующими истинному и измеренному значениям навигационного параметра (НП).

Уравнение НП в декартовой системе координат можно записать в виде в пространстве и на плоскости. Эти уравнения соответствуют трехмерному и двумерному скалярным полям параметра . В пределах рабочих зон РНС функция непрерывна и дифференцируема, поэтому изменение скалярного поля НП можно описать градиентом , то есть вектором, показывающим направление наискорейшего роста параметра

Если - единичный вектор, направленный вдоль нормали к поверхности (линии) положения в сторону роста то выражение, определяющее градиент, имеет вид:

(1)

Модуль градиента позволяет связать погрешность измерения НП с погрешностью фиксации поверхностей (линий) положения . Перейдя в (1) к конечным приращениям, получаем

(2)

Из (3) следует, что точность определения поверхностей (линий) положения увеличения с ростом точности измерения и модуля градиента поля НП.

Если фиксация или заданы аналитически, то модуль градиента для поверхности положения

(3)

для линии положения

(4)

Воспользовавшись приведенными соотношениями, оценим погрешность определения линий положения для дальномерного, угломерного и разностно-дальномерного методов местоопределения.

В дальномерных системах измеряется время задержки сигнала . Это время связано с навигационным параметром формулой

для беззапросного дальномера и

для дальномера с запросом, активной РЛС с активным или пассивным ответом и радиовысотомера.

При измерении дальности линии положения имеют форму окружностей радиусом (рис. 1) при расположении ответчика в точке , а объекта с запросчиком - в точке .Найдем среднеквадратическое значение погрешности определения линии положения при погрешности измерения НП, равной . В выбранной системе координат.

, .

Согласно (5)

,

согласно (3)

.

отсюда следует, что

, (5)

где - среднеквадратическое значение погрешности измерения ; - среднеквадратическое значение погрешности измерения временной задержки сигнала .

В угломерных РНС измеряемым НП является угол (рис. 2), а погрешность его измерения . Линией положения будет прямая .

Найдем среднеквадратическую погрешность определения линии положения . При с учетом (5) и рис. 2 найдем

.

Тогда в соответствии с (3)

.

и, следовательно

. (6)

В разностно-дальномерных РНС измеряемым параметром является разность расстояний

объекта от ведущей и ведомой станций с расстоянием между ними (базой) (рис. 3). Здесь линия положения - гипербола, а - угол, под которым из точки расположения объекта видна база. Согласно рис. 3,

.

В соответствии с выражением (5)

Но и, следовательно,

Отсюда смещение линий положения, вызванное погрешностью измерения разности расстояния ,

.

Среднеквадратическое значение погрешности определения линии положения

.(7)

Учитывая, что среднеквадратическое значение погрешности измерения НП , получим

(8)

Следовательно, станции необходимо располагать так, чтобы в рабочей зоне РНС угол был по возможности больше

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3

4. При использовании позиционного метода местоположение объекта определяется как точка пересечения двух или более линий положения. Погрешности, возникающие при определении каждой линии положения, приводят к тому, что вычисленное местоположение объекта отличается от истинного.

Рис. 4

Считаем, что объект находится на больших расстояниях от наземных станций, относительно которых определяются линии положения, и что погрешности определения линий положения много меньше этих расстояний. Тогда семейство линий положения, соответствующее различным значениям измеряемых навигационных параметров около местоположения объекта, можно заменить отрезками параллельных прямых независимо от формы линий положения. Допустим, что истинное положение объекта находится в точке пересечения линий положения , соответствующих истинным значениям измеряемых навигационных параметров (рис. 4). Прямые определяют линии положения с учетом погрешностей измерения - вычисленное с погрешностями местоположение объекта.

Линии положения пересекаются под углом . Точки и смещены относительно друг друга на расстояние , которое называется радиальной погрешностью. Величины и представляют собой погрешности определения линий положения и .

Как видно из рис. 4, . Обозначив , имеем

Из рассмотрения треугольника находим, что

Тогда радиальная погрешность определения местоположения объекта для одиночного измерения

(10)

Так как погрешности и представляют собой случайные величины, то и радиальная погрешность определения местоположения объекта случайна. В простейшем случае можно считать, что

тогда

где - означает операцию усреднения по множеству реализаций

Учитывая соотношение (10), при получим выражение для среднеквадратического значения радиальной погрешности

(11)

где - коэффициент взаимной корреляции погрешностей определения линий положения и ;

- среднеквадратические значения погрешностей определения линий положения.

При независимых измерениях линий положения и , что часто встречается на практике, , и тогда погрешность определения местоположения характеризуется более простой формулой

(12)

Максимальная точность при заданных и будет тогда, когда линии положения пересекаются под углом 90⁰. Заметим, что радиальная погрешность определения местоположения объекта не распределена по гауссовскому закону даже тогда, когда ошибки и представляют собой гауссовские случайные величины.

В ряде случаев при навигационных расчетах приближенная оценка погрешностей определения местоположения объекта на основе среднеквадратического значения радиальной погрешности является недостаточной. При этом используются более полные статистические характеристики погрешностей РНС, и в частности, рассматривается эллипс погрешностей.

Оценим вероятность того, что расчетное значение местоположения объекта находится в определенной области, окружающей истинное его местоположение.

Предположим, что случайные погрешности и определения каждой линии положения взаимозависимы и подчиняются гауссовскому закону распределения. Их плотности вероятности имеют вид

,

,

Совместная плотность вероятностей погрешностей и при этом равна

(13)

Приравняв показатель степени выражения (12) постоянному числу, получим уравнение линии, на которой плотность вероятностей , характеризующая погрешность определения местоположения объекта, одинакова, т. е.

(14)

где - некоторая постоянная величина.

Из (14) видно, что линия постоянной плотности вероятностей представляет собой эллипс в косоугольной системе координат, оси которой совпадают с нормалями к линиям положения, а начало - с истинным местоположением объекта. Эллипс, определяемый соотношением (14), называют эллипсом погрешностей, или эллипсом рассеяния.

Ориентировка эллипса погрешностей зависит от дисперсии погрешностей измерения линий положения и от угла .

На практике интерес представляет случай, когда точность определения линий положения и одинакова (что имеет место, в частности, при измерениях однотипной аппаратурой), т. е. измерения навигационных параметров независимы. В этом случае (при размеры полуосей эллипса погрешностей равны

(15)

а большая полуось совпадает с биссектрисой угла

Из (15) видно, что при эллипс превращается в окружность, так как .

Если требуется вычислить вероятность попадания расчетного значения местоположения объекта внутрь области , ограниченной эллипсом заданных размеров, то согласно (13)

(16)

Соотношение (16) указывает связь между вероятностью с постоянной , определяющей размеры эллипса рассеяния.

На основании (16) получим

(18)

Задаваясь различными значениями , по формуле (16) определяют постоянную , на основании которой вычисляют размеры эллипса погрешностей.

При вероятность нахождения местоположения объекта внутри соответствующего эллипса рассеяния, составляет .