Тема: Дискретное преобразование Фурье и Z-преобразование.
Кафедра Радиоэлектроники.
Преподаватель:
Лазаренко Сергей Валерьевич.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
Учебные вопросы:
1.Спектральная плотность дискретного сигнала.
2.Дискретное преобразование Фурье
иего основные свойства.
3.Быстрое преобразование Фурье.
4.Z-преобразование.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
1. Спектральная плотность дискретного
На практике, как правило, отсчетысигналадискретных сигналов. берут во времени через равный промежуток ∆, называемый интервалом (шагом) дискретизации:
t0 t 1 t1 t0 ... tm tm 1 ... (1)
Операцию дискретизации, т.е. перехода от аналогового сигнала x(t) к дискретному сигналу xД(t), можно описать, введя в рассмотрение т.н.
дискретизирующую последовательность
|
|
t t k |
(2) |
k
где δ(t-k∆) - дельта – функция.
Импульсный модулятор представляет собой устройство с двумя входами, на один из которых подается аналоговый сигнал x(t) . На второй вход
поступают короткие синхронизирующие импульсы с интервалом повторения ∆. Обозначим частоту повторения импульсов через ɷ1=2П/∆.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
Описанный принцип позволяет записать следующую математическую модель дискретного сигнала, полученного путем импульсной модуляции
xД t x tk x k t k (3)
k
Фактически это есть произведение двух сигналов x(t) и η(t),. Найдем спектральную плотность S XД этого дискретного сигнала в предположении, что известна спектральная плотность сигнала x t SX .
Для этого вначале вспомним, что спектральная плотность произведения двух сигналов есть свертка спектральных плотностей этих сигналов
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
SXД |
|
|
|
S SX d |
(4) |
|||||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- спектральная плотность сигнала (2). |
||||||||||
где S |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения S представим η(t) рядом Фурье, учитывая, что ∆ - период |
||||||||||
следования δ- импульсов: |
|
2 k |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
jk 1t |
|
j |
t |
||||
t Ak e |
|
Ak e |
|
(5) |
||||||
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kоэффициенты ряда Ak определяются обычным образом |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
j |
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При выводе выражения (6) учтено фильтрующее свойство δ- функции. С учетом |
|||||||||||||||||||||||||||||||
полученного результата формула (5) приобретает вид: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
|
|
|
e j |
|
|
t |
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Учитывая, что преобразованию Фурье присуще свойство линейности, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
спектральную плотность сигнала (7) можно определить, суммируя |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|||||
спектральные плотности S1 |
функций вида |
e j |
|
t . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j t |
e |
j t |
dt |
e |
j |
t |
|
|
(8) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
S1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 k |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
Проверить правильность выражения (8) можно, определив |
|
|||||||
обратное преобразование Фурье. |
2 |
|
|
|
2 |
|
||
Таким образом, имеем |
|
k |
(9) |
|||||
|
||||||||
S |
|
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
|
|
||
Подставив (9) в (4), получим окончательно
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
SXД |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||
1
k
|
|
k |
2 |
SX |
. |
||
|
|
|
|
k 2 S dX
(10)
Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой результат суммирования бесконечного числа "копий" спектра исходного сигнала. Эти копии располагаются на оси частот через промежутки 2П/∆, равные частоте дискретизации ɷ1.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
2. Дискретное преобразование Фурье и его основные свойства.
При исследовании сигналов с помощью цифровых ЭВМ непрерывный сигнал x(t) на интервале времени наблюдения [0,T] задается своими отсчетными значениями x0,x1,…,xN-1 взятыми соответственно в моменты времени 0, ∆, 2∆, ...,
(N-1)∆. Полное число отсчетов N=T/∆. Массив этих чисел является единственной информацией, по которой можно судить о спектральных свойствах сигнала x(t).Такому сигналу можно сопоставить некоторую математическую модель, раскладывая которую в ряд Фурье, можно найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
Воспользуемся моделью сигнала в виде последовательности δ-импульсов
N 1 |
N 1 |
(11) |
xД t x k t k xk t k |
||
k 0 |
k 0 |
|
Эта модель отличается от (3) ограниченным количеством отсчетов (сигнал рассматривается в пределах "периода" Т). Представим сигнал (11) комплексным рядом Фурье
|
|
t |
|
|
j |
2 n |
t |
|
|
|
1 T |
|
|
|
|
2 nt |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|||||||
|
A e |
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||||
|
Д |
|
n |
|
|
|
где коэффициенты A |
|
|
x |
t |
e |
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
T |
0 |
Д |
|
|
|
|
(13) |
||
Подставим в выражение (13) значение xД(t) (11), и учтем что T=∆N.
|
1 |
N N 1 |
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
j |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
An |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
N |
xk t k e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем безразмерную переменную ξ=t/∆. Тогда t=∆ξ, dt=∆dξ. При t=0 ξ=0, при |
||||||||||||||||||
t=T ξ=N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом получим |
1 N 1 |
N |
k e |
j |
2 n |
|
1 |
N 1 |
j |
2 nk |
|
|||||||
|
|
|
|
N |
|
N |
|
|||||||||||
|
|
An |
|
|
xk |
|
|
|
d |
|
xk e |
|
|
(14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
N k 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
N k 0 |
|
|
|
||
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
Из (14) следуют основные свойства ДПФ.
2.1Дискретное преобразование Фурье есть линейное преобразование, т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ.
2.2Количество различных коэффициентовA0 , A1 , A2 , ... AN 1 , вычисляемых по формуле (14), равно числу N отсчетов за период: при n=N коэффициент AN=A0
(показать).
2.3 Коэффициент A0 (постоянная составляющая) является средним значением
всех отсчетов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
xk (15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
j |
2 kN |
|
N 1 |
|
|||
|
|
N k 0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
2.4 Если N - четное, то AN |
|
|
xk e |
|
2N |
xk 1 k |
(16) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
N k 0 |
|
|
N k 0 |
|
||
2.5 Если N - четное и xk - вещественные числа, то коэффициенты ДПФ, номера
которых располагаются симметрично относительно N/2, образуют комплексно- сопряженные пары. Действительно,
AN n |
|
1 |
N 1 |
j |
2 k N n |
|
1 |
N 1 |
|
e |
j |
2 nk |
(17) |
|
xk e |
|
N |
|
xk e |
j 2 k |
|
N |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
N k 0 |
|
|
|
N k 0 |
|
|
|
|
|
||
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.
Второй сомножитель в правой части выражения (17) всегда равен 1,
Следовательно, |
|
2 nk * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
N 1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xk e |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
AN n |
|
|
|
|
An |
(18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
N k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если на основании совокупности отсчетов x ,x |
,…,x |
|
некоторого сигнала |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
N-1 |
|
найдены коэффициенты ДПФ |
, |
A |
A |
, ... |
AN |
, то по ним всегда можно |
||||||||||||
0 |
|
1 , |
2 |
|
|
|
||||||||||||
восстановить исходный сигнал x(t) |
с ограниченным спектром, который был |
|||||||||||||||||
подвергнут дискретизации. Ряд Фурье такого сигнала принимает вид конечной суммы:
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
x t A0 2A1 cos |
1 |
2A2 |
cos |
|
2 |
|
... AN cos |
|
N |
, |
|||
|
|
||||||||||||
T |
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||
где φi=arg Ai - фазовый угол коэффициента ДПФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Формула (13) позволяет ввести в рассмотрение обратное ДПФ. Если положить t=∆k и учесть, что суммируется конечное число членов ряда, то получим
N 1 |
j |
2 kn |
N |
||
xk t Ane |
|
|
n 0
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 23.