Тема: Фильтр Калмана.
Кафедра Радиоэлектроники.
Преподаватель:
Лазаренко Сергей Валерьевич.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.
Учебные вопросы:
1. Формулировка задачи фильтрации.
2.Уравнение фильтра Калмана.
3.Пример построения фильтра Калмана.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.
1. Формулировка задачи фильтрации.
При синтезе фильтра Калмана предполагают, что полезный сигнал s(t) генерируется из белого шума с помощью так называемого формирующего фильтра в соответствии с алгоритмом
ds t |
F t s t G t u t |
(1) |
dt |
|
|
Где u(t) - белый шум, спектральная плотность которого равна Q(t) (шум формирования);
F(t)и G(t) - заданные коэффициенты.
Уравнение (1) называют уравнением формирующего фильтра.
Например, дифференциальное уравнение, описывающее формирующий фильтр, имеет вид
d 2s |
a ds |
a s b u |
(2) |
|
|
d t2 |
|
||||
1 d t |
1 |
0 |
ds |
|
|
Введем обозначения s s1 |
s2 |
||||
|
|
|
|
d t |
|
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.
Тогда вместо уравнения (2) можно записать систему
dsd t1 0 s1 1 s2 0 0 dsd t2 a0 s1 a1 s2 b0 u
Перепишем эту систему в векторной форме
ds1 |
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
d t |
|
|
|
|
Обозначим
0 1 |
s1 |
|
|
0 0 |
0 |
||||||
a |
|
a |
|
|
|
|
0 b |
|
|
||
0 |
s |
2 |
|
u |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
ds |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
s1 |
|
||
|
|
F |
a |
|
a |
|
|
s |
|
|||||
|
|
1 |
|
, |
|
, |
||||||||
d s |
d t |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
s2 |
|
|||
d t |
ds2 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
u |
|||||
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
b0 |
|
|
|
|
u |
|||
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.
При этом уравнение (2) преобразовалось в выражение (1) в векторной форме
d s |
|
(3) |
||
|
|
|
||
d t F s G u |
||||
|
||||
В процессе распространения сигнала от передатчика к приемнику он подвергается воздействию шума, поэтому принимаемый сигнал описывается соотношением
x t C t s t n t (4)
Где n(t) - белый шум, спектральная плотность которого равна R(t) (шум измерения);
C(t)- заданный коэффициент.
Также величины n(t) и R(t) могут быть вектором и матрицей соответственно. Уравнение (4) называют уравнением наблюдения.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.
2.Уравнение фильтра Калмана.
Получить уравнение фильтра Калмана можно из уравнения Винера-Хопфа в
векторной форме. Опуская громоздкие выкладки, запишем это уравнение. |
|||||||||
ds* t |
F t s* t K t x t |
C t s* t |
(5) |
||||||
|
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь s*(t) - оптимальная оценка полезного сигнала, K(t) - коэффициент |
|||||||||
передачи (усиления) фильтра. |
|
|
|
|
|||||
Коэффициента усиления K(t) |
|
|
|
|
|||||
фильтра |
|
|
|
|
|
|
|
||
K CT R 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
F F С |
T |
R |
1 |
|
T |
|
|||
dt |
|
C GQG |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этих уравнениях ε - матрица ошибок:
M s t s* t s t s* t T
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.
|
|
3. Пример построения фильтра |
||||
На вход фильтра поступает напряжение u(t) в виде |
||||||
белого шума, спектральная |
плотность мощности |
|||||
Калмана. |
||||||
которого постоянна и равна Q. С учетом этого, |
||||||
считая выходным сигналом напряжение на |
||||||
конденсаторе, имеем |
|
|||||
ds t |
1 |
u t |
1 |
s t |
(7) |
|
dt |
|
|
|
|||
T |
T |
|||||
где T=CR - постоянная времени цепи.
Сравнивая выражения (7) и (1), делаем вывод, что
1 |
|
1 |
|
||
F |
|
G |
|
|
|
T |
|||||
T |
|||||
Полагая в выражении (4) C=1, запишем уравнение наблюдения |
|||||
x t s t n t |
(8) |
||||
где n(t) - белый шум, спектральная плотность мощности которого также постоянна и равна R.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.
Уравнение фильтрации при этом будет выглядеть следующим образом:
ds* t |
|
1 |
s* t K t x t s* t |
|
|||
dt |
|
T |
|
где |
K t |
|
|
R |
|||
|
|
Дисперсионное уравнение приведется к виду |
||||||||
d t |
|
2 |
t |
1 |
2 t |
Q |
|
|
T |
R |
T 2 |
||||||
dt |
|
|
|
|||||
Это нелинейное дифференциальное уравнение, которое может быть решено с использованием современных вычислительных средств.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 17.