4 Методы анализа нелинейных цепей

Линейные электрические цепи не изменяют состав спектра проходящих через них сигналов. Входной и выходной сигналы линейной системы отличаются только величинами амплитуд и начальных фаз их гармонических составляющих. В спектре выходного сигнала ЛЭЦ принципиально не может быть гармонических составляющих, отсутствующих в спектре входного сигнала.

Рисунок 5

Иначе обстоит дело в нелинейных цепях. Простейшие графические построения, приведенные на рисунке 5, показывают, что при моногармоническом воздействии форма тока в НЭ отлична от формы приложенного к нему напряжения. Причина искажения привой тока очевидна: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, поскольку , а дифференциальная крутизна ВАХ на различных участках различна.

Подойдя к описанной задаче аналитически, заметим, что функция

,

описывающая мгновенные значения тока, является периодической с периодом и поэтому всегда может быть разложена в ряд Фурье:

.

Физически это означает, что ток в безынерционном НЭ есть сумма постоянной составляющей и, вообще говоря, бесконечного набора гармоник с частотами , , …

При рассмотрении различных функциональных преобразований сигналов в нелинейных цепях очень часто возникает задача определения именно спектра колебаний на выходе цепи. Поэтому целесообразно, прежде всего, ознакомиться с методами спектрального анализа сигналов в нелинейных электрических цепях (НЭЦ).

В общем плане задача ставится так: на вход РНЭ с ВАХ действует гармоническое

,

бигармоническое

или полигармоническое колебание

.

Требуется определить спектр отклика, т.е. спектр тока.

Классический способ решения задачи заключается в подстановке воздействия в уравнение для ВАХ с последующим определением спектральных компонент путем использования аппарата рядов Фурье. Однако такой способ оказывается весьма трудоемким. Поэтому на практике получили распространение специальные методы спектрального анализа, каждый из которых связан, как правило, с определенным видом аппроксимирующей функции НЭ и характером воздействующего сигнала.

Задача любого метода спектрального анализа заключается в такой аппроксимации ВАХ НЭ, при которой отклик (ток) представлялся бы в виде суммы гармонических слагаемых: амплитуды и частоты этих компонент определяют спектр отклика. Наибольшее распространение получили:

- тригонометрический метод (метод степенного полинома);

- метод угла отсечки (метод Берга);

- методы трех и пяти ординат;

- метод функций Бесселя от мнимого аргумента.

Рассмотрим более детально первые два метода применительно к расчету спектра тока в РНЭ при моно- и бигармоническом воздействии.

5 Тригонометрический метод

Допустим, что режим работы НЭ выбран таким, что рабочий участок ВАХ удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом

При входном сигнале

ток в цепи запишется в виде

Для представления тока в виде суммы гармоник используем тригонометрические формулы кратных аргументов (отсюда и название метода - тригонометрический):

,

,

,

,

и т.д.

Полагаем . Тогда выражение для тока преобразуется к виду:

…

Из полученного соотношения видны следующие проявления нелинейности ВАХ НЭ и особенности спектра тока при моногармоническом воздействии:

- ток в цепи является периодической функцией времени, но форма его отлична от гармонической;

- спектр тока дискретен и содержит гармоники с частотами , кратными частоте приложенного напряжения . Гармоники с частотами , , ,…обусловлены четными степенями, а гармоники с частотами , , ,...- нечетными степенями аппроксимирующего полинома. При этом номер наивысшей гармоники в спектре равен степени используемого полинома;

- постоянная составляющая тока не равна току покоя и определяется коэффициентами , ,... при четных степенях полинома;

- амплитуда -ной гармоники тока зависит от членов полинома -ной и более высоких степеней и не зависит от членов с меньшими степенями;

- начальная фаза тока -ной гармоники в раз больше начальной фазы воздействующего напряжения ().

Проведенный анализ показывает, что при заданном воздействии характер и величина продуктов нелинейности ВАХ определяются коэффициентами аппроксимации , , ... Последние в свою очередь зависят от исходного напряжения смещения .