Тема: Фильтр Винера.
Кафедра Радиоэлектроники.
Преподаватель:
Лазаренко Сергей Валерьевич.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
Учебные вопросы:
1.Постановка задачи фильтрации.
2.Интегральное уравнение оптимального фильтра.
3.Коэффициент передачи оптимального фильтра.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
1. Постановка задачи фильтрации.
Например, пусть на вход приемника поступает смесь амплитудно- модулированного сигнала
s(t) U t cos t
и помехи n(t), т.е.
x t s(t) n(t) U t cos t n(t)
На вход некоторой системы (фильтра) поступает аддитивная смесь x(t) полезного сигнала s(t) и шума (помехи) n(t)
x t s(t) n(t)
Желаемым выходом фильтра является, естественно, сигнал y0 t s(t)
Реакцией реального фильтра является оценка сигнала, т.е. y t s* (t)
Требуется найти характеристики реального фильтра, выходное колебание которого y(t)=s*(t) отличалось бы от желаемого выхода y0(t)=s(t) с минимальной
среднеквадратической погрешностью |
|
M 2 t M s(t) s* (t) 2 min |
(1) |
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
Так как рассматриваемые процессы эргодические, то усреднение сводится к интегрированию (низкочастотной фильтрации).
Задача может ставиться несколько иначе: по известным значениям x(t) в прошлом и настоящем дать оптимальную оценку s*(t+∆), т.е. в будущем.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
2. Интегральное уравнение оптимального фильтра.
Более подробно рассмотрим выражение (1). При этом учтем, что выходной сигнал искомого реального фильтра определится интегралом Дюамеля
|
|
|
|
|
s* t g x t |
d g s t n t d |
(2) |
||
|
0 |
0 |
|
|
Где g(τ)- импульсная характеристика искомого реального фильтра. |
||||
Для нахождения этой характеристики определим квадрат ошибки |
||||
2 t s t s* t |
2 s2 t 2s t s* t s*2 t |
|
||
|
|
|
|
|
s2 t 2s t g x t d g g x t x t d d (3) |
||||
|
0 |
0 0 |
|
|
Усредняя левую и правую части выражения (3), получим |
|
|||
|
|
|
|
|
M 2 t M s2 t 2 g M x t s t d |
|
|||
|
0 |
|
|
|
g g M x t x t d d |
(4) |
|
||
0 |
0 |
|
|
|
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
Учтем, что M s 2 t s2 - энергия (дисперсия) сигнала s(t), |
|||||
M x t s t Bxs |
- взаимная корреляционная функция сигнала s(t) и |
||||
|
|
|
|
принятого сигнала (принятой реализации) x(t), |
|
M x t x t Bx - автокорреляционная функция принятого сигнала. |
|||||
С учетом этого выражение (4) перепишется в виде |
|||||
M |
|
t |
|
|
|
2 |
s 2 g Bxs d g g Bx d d (5) |
||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
Пусть импульсная характеристика какого-то условного фильтра равна |
|||||
g t |
|
g 0 t |
h t |
(6) |
|
Где h(t) - произвольная функция, не равная тождественно нулю;
Найдем среднеквадратическую ошибку фильтрации этого условного фильтра, для чего подставим в выражение (5) соотношение (6).
M |
12 t |
s2 2 |
|
g0 |
h Bxs d |
|
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
g0 |
h g0 h Bx d d |
|
|||||
|
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
Очевидно, что при 0 |
ошибка фильтрацииM 12 t |
M 2 t минимальна, так |
|||
как в этом случае g(t)=g0(t). |
|
|
|||
Перепишем формулу (7) в следующем виде |
|
||||
|
|
|
|
|
|
M 12 t s2 2 g0 |
Bxs d 2 h Bxs |
d |
|||
|
|
0 |
|
0 |
|
g0 g0 |
Bx d d 2 |
g0 h Bx d d |
|||
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
2 h h Bx d d |
(8) |
|
|||
0 |
0 |
|
|
|
|
Согласно выражению (5) |
|
|
|||
M 2 t s2 |
|
|
|
||
2 g0 |
Bxs d g0 g0 Bx d d (9) |
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
Введем обозначения |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Q h Bxs d g0 h Bx d d |
(10) |
||||
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L h h Bx d d |
(11) |
|
|||
0 |
0 |
|
|
|
|
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
Подставляя соотношения (9), (10), (11) в выражение (8), получим
M 12 t |
M 2 t |
2 Q 2 L (12) |
Условие минимума |
|
|
dM 12 t |
2Q 2 L 0 |
|
d |
|
|
откуда следует Q |
(13) |
|
|
L |
|
С другой стороны, как было отмечено ранее, для обеспечения минимумаM 12 t необходимо, чтобы 0 . Из выражения (13) следует, что Q=0.
Преобразуем выражение (10) следующим образом, поменяв порядок интегрирования и приравняв Q=0
|
|
|
d |
|
B |
d |
|
d 0 |
Q h B |
xs |
g |
|
|||||
|
|
|
0 |
x |
|
|
||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Так как функция h(t) - произвольная функция, не равная нулю, то, следовательно, нулю равно выражение в квадратных скобках, откуда следует:
|
|
|
Bxs d g0 |
Bx d |
(14) |
0 |
|
|
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
3. Коэффициент передачи оптимального фильтра.
Применяя к обеим частям выражения (14) преобразование Фурье и используя свойства спектра свертки двух функций, получим
Sxs K0 Sx (15)
Где Sxs(ɷ) - взаимный энергетический спектр сигнала s(t) и принятой реализации
x(t) (смеси сигнала и шума);
K0(ɷ) - коэффициент передачи мощности оптимального фильтра;
Kx(ɷ) - энергетический спектр принятой реализации x(t) (смеси сигнала и шума). Из выражения (15) следует
K0 |
Sxs |
|
(16) |
|
Sx |
||||
|
|
|||
Если сигнал s(t) и помеха n(t) не коррелированны между собой (что практически |
||||
всегда выполняется), то |
Sxs Ss |
|||
|
|
|
Sx Ss Sn |
|
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.
В этом случае выражение (16) приобретает вид |
|||
K0 |
Ss |
(17) |
|
Ss Sn |
|||
|
|
||
Среднеквадратическая ошибка восстановления сигнала с помощью оптимального фильтра определится на основании уравнения Винера-Хопфа при τ=0
2min Bxs 0 d g0 Bx d
0
1 в K0 Sn d
н
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 16.