Тема: Цифровые фильтры.
Кафедра Радиоэлектроники.
Преподаватель:
Лазаренко Сергей Валерьевич.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
Учебные вопросы:
1.Трансверсальный цифровой фильтр.
2.Рекурсивный цифровой фильтр.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
1. Трансверсальный цифровой фильтр.
Физически осуществимые цифровые фильтры, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в i-тый дискретный момент времени могут использовать следующие данные:
1)значение xi входного сигнала в момент i-того отсчета, а также некоторое число "прошлых" входных отсчетов xi-1, xi-2, ..., xi-m;
2)некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала yi-1, yi-2, ..., yi-n.
Так принято называть фильтры, не использующие для формирования выходного сигнала в i-тый момент времени его предыдущие отсчеты, т.е. фильтры, работающие в соответствии с алгоритмом:
yi a0 xi a1 xi 1 a2 xi 2 |
... am xi m |
(1) |
где a0, a1,…, am- последовательность коэффициентов.
Применив Z-преобразование к обеим частям выражения (1), получим
Y (z) (a0 a1 z 1 a2 z 2 ... am z m )X (z)
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
Отсюда следует, что системная функция трансверсального равна
H (z) |
Y (z) |
a |
|
a z 1 a |
|
z 2 |
... a |
|
z m |
|
|
0 |
2 |
m |
|||||||
|
X (z) |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 zm a1 z m 1 a2 zm 2 |
... am |
(2) |
|
|
||||||
|
|
zm |
|
|
|
|
|
|
|
|
Системная функция трансверсального цифрового фильтра есть дробно- рациональная функция аргумента z, имеющей m- кратный полюс при z=0 и m нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
Комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра получается из системной функции заменой аргумента z на ejɷ∆. Следовательно, получим:
K ( ) a0 a1e j a2e 2 j ... am z mj
На основе задания комплексного коэффициента передачи может быть реализован один из алгоритмов цифровой фильтрации непрерывного сигнала:
1)производится дискретизация непрерывного входного сигнала;
2)определяется дискретное преобразование Фурье (в том числе с использованием алгоритма быстрого преобразования);
3)перемножением комплексных коэффициентов дискретного ряда Фурье входного сигнала и значений комплексного коэффициента передачи цифрового фильтра определяется дискретное преобразование выходного сигнала;
4)путем использования обратного дискретного преобразования Фурье определяется выходная последовательность, которая затем может быть
преобразована в непрерывный сигнал.
Прямая подстановка системной функции трансверсального цифрового фильтра
(2)в выражение (3) с учетом соотношений (4)...(6) дает следующий результат:
hk (a0 , a1 , a2 ,..., am )
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
Нулевой такт |
Первый такт |
Второй такт |
Третий такт |
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
Из рассмотрения рисунков видно, что y0 x0 a0
y1 x0 a1 x1 a0
y2 x0 a2 x1 a1 x2 a0
y2 x0 a3 x1 a2 x2 a1 x3 a0
,
и т.д.
В общем случае |
|
m |
|
|
|
ym x0 am x1 am 1 x2am 2 ... xm a0 |
xk am k |
(4) |
|||
|
|
k 0 |
|
|
|
Трансверсальный фильтр первого порядка |
|
|
|
||
Входная последовательность фильтра |
|
|
|
|
|
определяется выражением |
|
|
|
|
|
ym a0 xm a1 xm 1 |
|
|
|
|
|
Следовательно, импульсная характеристика |
|
|
|
||
равна |
|
|
|
|
|
hk (a0 , a1 ) |
|
|
|
|
|
Системная функция такого фильтра |
H(z) a |
0 |
a z 1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
Kомплексный коэффициент передачи
K ( ) a0 a1e j
Очень просто найти выражение для АЧХ фильтра.
K ( ) |
|
|
|
|
|
a0 a1 cos |
ja1 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
2 |
a |
2 |
2a a cos |
||||||||||||||
|
K( ) |
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
||
При a0=a1=1 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
K( ) |
2 2cos |
|
|
2cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На частоте ɷ=П/∆ АЧХ обращается в нуль, и данный фильтр может выступать в качестве режекторного.
При a0=1,a1=-1 имеем
K( ) |
|
|
|
|
|
|
2sin |
||
2 2 cos |
||||
|
|
|
|
2 |
и фильтр становится полосовым, средняя частота которого равна ɷ=П/∆ .
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
2. Рекурсивный цифровой фильтр.
Рекурсивный цифровой фильтр характерен тем, что для формирования k-того выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигнала:
yk a0 xk a1 xk 1 ... |
am xk m b1 yk 1 b2 yk 2 ... |
bn yk n (5) |
Преобразуем уравнение (5), сгруппировав отсчеты выходного сигнала слева, входного - справа:
yk b1 yk 1 b2 yk 2 |
... bn yk n a0 xk |
a1 xk 1 ... am xk m |
(6) |
||||
Найдем z-преобразование от обеих частей уравнения |
|
|
|
||||
Y (z)(1 b z 1 ... b z n ) X (z)(a |
0 |
a z 1 ... a |
m |
z m ) |
(7) |
||
1 |
n |
|
1 |
|
|
||
и получим выражение для системной функции рекурсивного цифрового фильтра
H (z) |
Y (z) |
|
a |
0 |
a z 1 |
... a |
m |
z m |
|
a |
0 |
z n a z n 1 |
... a |
m |
z n m |
(8) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
X (z) |
1 b z 1 |
... b z n |
|
|
z n b z n 1 ... b |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 24.
