Типы уравнений прямой.

Название уравнения определяется названием постоянных величин, определяющих положение прямой линии в системе координат.

1. Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору имеет вид:

(1)

Оно вытекает из условия того, что скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Действительно, возьмем на прямой произвольную точку . Образуем текущий вектор, направленный из точкив точку. Этот вектор будет иметь координаты, и направлен он будет вдоль прямой. Второй вектор – это данный вектор. Скалярное произведение этих векторов равно нулю, отсюда и вытекает уравнение прямой.

2. Общее уравнение прямой линии:

(2)

где коэффициенты при неизвестных суть координаты нормального вектора прямой. Действительно, раскроем скобки в предыдущем уравнении:

Теорема 1. Всякая прямая на плоскости имеет уравнение первой степени, и всякое уравнение первой степени является уравнением некоторой прямой.

Следствия.

a) – уравнение прямой, параллельной оси(, уравнение оси),

б) - уравнение прямой, параллельной оси(, уравнение оси),

в) - прямая линия, проходящая через начало координат.

Замечание. При переменном коэффициенте - это будут уравнения пучка прямых, проходящих через начало координат.

3. Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку , параллельно данному вектору(каноническое):

(3)

Вектор вдоль прямой коллинеарен вектору, отсюда это условие.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:

(4)

Замечание. При переменном коэффициентеуравнение называется уравнением пучка прямых линий, проходящих через точку.

5. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом (рис. 4):

(5)

Здесь . К этому виду нельзя привести прямую, параллельную оси .

6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

(6)

Действительно, пусть даны две точки и, через которые должна пройти наша прямая. На этой прямой возьмем текущую точкуи образуем два вектора:и. Эти два вектора коллинеарные, отсюда и вытекает уравнение.

Замечание. Если , то уравнение прямой ; если, то.

3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.

1) Пусть прямые линии заданы общими уравнениями:

,

где нормальные векторы: и ₂, - угол между векторами и , т.е. угол между прямыми. Тогда:

(7)

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их нормальных векторов:

(8)

Условие перпендикулярности прямых – ортогональность векторов и:

(9)

2) Пусть прямые линии заданы с угловыми коэффициентами(рис. 5):,

где . Тогда

.

Это вытекает из формулы тангенса суммы углов. ,,,,(*).

За принимаем угловой коэффициент той прямой, которую надо вращать против хода часовой стрелки, чтобы обойти уголдо совмещения со второй прямой.

Условие параллельности прямых: .

Условие перпендикулярности прямых: .

Расстояние точки от прямойопределяется формулой:

(10)

Доказательство смотри в другом файле.

Замечания.

1. Если две прямые изаданы в каноническом виде, то угол между ними можно рассматривать как угол между их направляющими векторами, а значит,

(11)

Пример 1. Даны точки ,,.

Найти:

1) Уравнение прямой .

Согласно уравнению (6) (уравнение прямой, проходящей через две точки), запишем:

, или .

2) Уравнение прямой , проходящей через точку, параллельно прямой.

Согласно уравнению (1), (уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору) точка это точка, параллельно прямойзначит перпендикулярно ее нормальному вектору. Следовательно, запишем

.

3) Уравнение прямой , проходящей через точку, перпендикулярно прямой.

Перпендикулярно прямой, значит параллельно ее нормальному вектору, в нашем случае . Точкаэто точка. Согласно уравнению (3), запишем

4) Уравнение медианы треугольника.

На медиане образуем текущий вектор.

Найдем координаты точки - середины стороны:

Образуем вектор , расположенный параллельно текущему вектору. Тогда, в силу условия параллельности векторов, получим уравнение медианы:

, или .

5) Уравнение высоты .

На высоте возьмем текущую точкуи образуем текущий вектор. Так как, где, то условие перпендикулярности этих векторов порождает уравнение прямой(скалярное произведение векторов равно нулю):

или .

6) Длину высоты .

Заметим, что длина высоты равна расстоянию от точкидо прямой. Чтобы воспользоваться формулой (10), сначала найдем уравнение прямой.

На стороне образуем текущий вектор.

Запишем условие параллельности векторов , где:

, или в общем виде .

Теперь, подставляя известные данные в формулу (10), имеем:

.

Пример 2. Дана прямая :и точка.

Найти:

1) Для прямой уравнение с угловым коэффициентом, угловой коэффициент , отрезок, отсекаемый по оси ординат.

Разрешив уравнение прямой относительно, получаем уравнение с угловым коэффициентом:

: . Отсюда,.

2. Нормаль и направляющий векторпрямой-.

Коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой, есть координаты нормального вектора, то есть.

Поскольку направляющий вектор прямой– это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, то выполняется условие (перпендикулярность векторов):

где .

Дадим величине какое-нибудь значение. Пусть, например,, тогда, то есть . Получаем направляющий вектор .

2. Каноническое уравнение прямой .

Для составления канонического уравнения (3) прямой нам необходимо знать точку, лежащую на, и направляющий вектор. Так как координаты векторабыли получены нами ранее в задание 2, осталось найти координаты точки.

Зафиксируем произвольное значение, например, и подставим его в уравнение прямой. Получим. Следовательно,.

Воспользовавшись теперь каноническим уравнением прямой (10), находим:

.

2. Уравнение прямой , параллельной-и проходящей через точку.

Прежде всего, заметим, что точка не лежит на прямой, поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому можно построить прямую, проходящую черезпараллельно, но не совпадающую с.

Пусть - текущая точка прямой. Так как текущий векторперпендикулярен вектору нормалипрямой, то. Отсюда получаем уравнение прямой:

или

2. уравнение прямой , перпендикулярной - и проходящей через точку.

Пусть - текущий вектор прямой. Из условия параллельностии нормалипрямой, получаем уравнение:

.

Пример 3. Проверить, являются ли прямые линии

,

1. Параллельными.

Прямые ибудут параллельны, если их нормали. Из общего уравнения прямойнайдем нормаль. Чтобы найти нормаль ₂ приведем уравнение прямой к общему виду:. Отсюда .

Поскольку условие параллельности векторови ₂ не выполняется, так как , стало быть, и не параллельны.

б) Перпендикулярными.

Прямые и будут перпендикулярны, если ₂. Но условие перпендикулярности для векторов и ₂ не выполняется, так как . Следовательно,не перпендикулярна.

в) Найти угол междуи.

Угол между прямыми равен углу между их нормалями. Поэтому, используя формулу угла между двумя векторами, получим

.

Так как , , , то .