2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(4.9)

Доказательство. На основании соотношения (4.8), можно записать

Так как

и

то

3°. Если и -независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(4.10)

Доказательство. По формуле (4.8) имеем

Но

Так как и - независимые случайные величины, то

Следовательно

Далее,

поэтому

Таким образом

Следовательно

Замечание. Свойство 3° распространяется на любое конечное число попарно независимых случайных величин:

   Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

(4.11)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .

Пример 4.1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение.

Решение: Используя формулы (4.1), (4.6) и (4.11) соответственно получим

3. Числовые характеристики некоторых случайных величин.

Найдем теперь числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение) случайных величин, рассмотренных выше.

1. Распределение Бернулли. Здесь случайная величина - число наступления событияA при одном испытании, причем . Найти математическое ожидание и дисперсию для этого распределения.

Величина принимает два значения0 и 1 соответственно с вероятностями иp. Поэтому по формулам (4.1) и (4.6) находим

2. Биноминальный закон распределения. Определяется формулой Бернулли: , где- постоянная вероятность появления событияв данном конкретном опыте.

Пусть - случайная величина, принимающая значения1 или 0 в зависимости от того, происходит или не происходит событие A в i-м опыте. Тогда . Ясно, что попарно независимы. Из результата примера 2следует, что,для любого. На основаниисвойства 3°для математического ожидания и дисперсии имеем

3. Пусть - случайная величина, распределенная по закону Пуассона: . Найтии.

Используя соотношение (4.1), получим

 Так как

Найдем теперь выражение для дисперсии закона Пуассона

Следовательно,

4. Пусть теперь - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью

Найдем математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение этой случайной величины.

По формулам (4.2), (4.7) и (4.11) находим

5. Сейчас можно выяснить смысл параметров инормального закона распределения случайной величины.

Пусть - нормально распределенная случайная величина, с параметрамии. Найдеми.

Так как , то по формуле (4.2) находим

Проведем в интеграле замену переменной, полагая . Тогда,.   Следовательно,

Но

cм. формулу (3.7). Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций .  Следовательно, .

Дисперсию находим по формуле (4.7)

(вычисление интеграла не приводим).

Итак, .

Таким образом, параметры идля нормально распределенной случайной величины имеют простой вероятностный смысл:a есть математическое ожидание, -среднее квадратическое отклонение.