10 ТеорВер

§ 4. Числовые характеристики случайных величин.

Оглавление.

1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

3. Числовые характеристики некоторых случайных величин.

4. Линейные функции случайных величин.

    В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.

1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:

- число подшипников с внешним диаметром ,

- число подшипников с внешним диаметром ,

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- число подшипников с внешним диаметром .

Здесь . Найдем среднее арифметическое значениевнешнего диаметра подшипника. Очевидно,

Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения, c соответствующими вероятностями,, ...,, так как вероятностьпоявления подшипника с внешним диаметромx_i равна m_i /N. Таким образом, среднее арифметическое значение x_ср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения

Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей(такую таблицу для дискретной случайной величины мы уже приводили):

Значения	х1	х2	. . .	хn
Вероятности	p1	p2	. . .	pn

 

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е.

(4.1)

В случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда ,причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника.

 Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством

(4.2)

При этом предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.2) существует.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.    Доказательство. Постоянную можно рассматривать как случайную величину, которая может принимать только одно значениеc вероятностью равной единице. Поэтому.

 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

 Доказательство. Используя соотношение (4.1), имеем

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(4.3)