Математика_2 / 2 семестр / Лекц.Мат-ка Базов / 9.ТеорВер / 2

7

ТеорВер

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ.

Оглавление.

1. Вероятность появления хотя бы одного события.

2. Формула Бернулли.

3. Приближения формулы Бернулли.

1. Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытания могут появиться п событий, причем вероятности появления каждого из событий известны. Чтобы найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий, воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 4: вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероят­ностей противоположных событий :

.

Доказательство: обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

,

или

. (2.1)

Частный случай: если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероят­ность появления хотя бы одного из этих событий равна

. (2.2)

2. Формула Бернулли

Предположим теперь, что производится n независимых испытаний в неизменных условиях, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А одинакова и равна . Следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна .

Определим вероятность того, что событие А произойдет m раз при этих n испытаниях.

Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв и . Например, запись означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.

Всякую комбинацию, в которую входит раз и, соответственно, входит раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству способов, которыми можно выбрать чисел из данных ; т. е. оно равно числу сочетаний из n элементов по m:

Подсчитаем теперь вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет

Так как в любой другой благоприятной комбинации событие встречается также раз, а событие происходит раз, то вероятность каждой из таких комбинаций также равна . Итак

Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому (на основании аксиомы сложения вероятностей)

Следовательно,

(2.3)

Или, так как , то

(2.4)

Формула (2.4) называется формулой Бернулли (Я. Бернулли (1654-1705) - швейцарский математик).

Так как вероятности для различных значений представляют собой слагаемые в разложении бинома Ньютона:

то распределение вероятностей , где , называется биноминальным.

Пример 9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?

 Решение: Здесь  n = 8;    m = 5;    p = 0,6;   q = 1- 0,6 = 0,4.

 Используя формулу (2.4), имеем

Часто необходимо знать, при каком значении вероятность принимает наибольшее значение, т. е. требуется найти наивероятнейшее число наступления события A в данной серии опытов. Можно показать, что число должно удовлетворять двойному неравенству

(2.5)

Заметим, что сегмент , в котором лежит , имеет длину . Поэтому, если какой-либо из его концов не является целым числом, то между этими концами лежит единственное целое число, и определено однозначно. В том случае, если оба конца — целые числа, имеются два наивероятнейших значения: и .

Пример 10. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель в примере 9.

Решение: Здесь ;  ;  ; ; .

 Согласно формуле (2.5) наивероятнейшее значение лежит на сегменте и, следовательно, равно 5.

3. Приближения формулы Бернулли

При больших значениях n подсчет вероятностей по формуле (2.4) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться приближенными формулами.

1. Локальная формула Муавра-Лапласа.

(2.6)

где не равно нулю и единице, , а

. (2.7)

 Формула (2.6) выражает так называемую локальную теорему Лапласа (П. Лаплас (1749—1827) — французский математик и астроном.). Точность этой формулы повышается с возрастанием n.

Функция формула (2.7), как мы увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей (см. рис. 2.1). Ее значения при различных значениях аргумента приведены в Приложении (см. табл. I). Она представляет собой функцию плотности вероятности нормального закона распределения (мы еще вернемся к ней). При , , поэтому функция табулирована для . График функции представлен на рис. 2.1.

Пример 11. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз.

Решение: Здесь  m=20;  n=80;   p=1/6;  q=1-1/6=5/6;  далее находим

Используя формулу (2.6), получим

так как из табл. I находим, что .

2. При больших значениях , для вычисления вероятности того, что произойдет от до событий по схеме Бернулли, используется интегральная формула Муавра-Лапласа:

где ,

(2.9)

- функция Лапласа (см. рис. 2.2.).

График функции представлен на рис. 2.2.

К функции Лапласа мы еще не раз будем обращаться, а пока отметим, что имеет следующие свойства:

1) - функция нечетная, поэтому достаточно применять ее для неотрицательных значений ;

2) функция возрастает на всей числовой оси;

3) при , ( - горизонтальная асимптота при ), поэтому функция представлена в виде таблицы для (Прил. I);

4) вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число , равна:

Пример 13. Стрелок выполнил выстрелов, вероятность одного попадания . Найти вероятность того, что он попадет от до раз.

Решение. Согласно интегральной формуле

, где

Пример 14. В каждом из независимых испытаний вероятность успеха . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на .

Решение. , следовательно

Пример 15. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности окажется по абсолютной величине не больше чем на ?

Решение. По условию . Отсюда

.

3. Если то используют так называемую формулу Пуассона

(2.8)

Пример 12. Завод отправил 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути разбили одно изделие - 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:

а) 3 изделия;

б) 1 изделие;

в) не более трех изделий.

Решение. Имеем и , поэтому применяем формулу Пуассона.

а) : .

б) : .

в) :

FVB