4. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

Различные статистики, получаемые в результате вычислений, представляют собой точечные оценки соответствующих параметров генеральной совокупности.

Если из генеральной совокупности извлечь некоторое количество выборок и для каждой из них найти интересующие нас статистики, то вычисленные значения будут представлять собой случайные величины, которые распределены по нормальному закону и имеющие некоторый разброс вокруг оцениваемого параметра.

Но, как правило, в результате эксперимента в распоряжении исследователя имеется одна выборка. Поэтому значительный интерес представляет получение интервальной оценки, т.е. получение некоторого интервала, внутри которого, как можно предположить, лежит истинное значение параметра.

Вероятности, признанные достаточными для уверенных суждений о параметрах генеральной совокупности на основании статистик, называются доверительными.

Для примера рассмотрим как оценку параметра.

Доказано, что если выборки извлекаются из генеральной совокупности с параметрами:

то распределение выборочных средних будет приближаться к нормальному закону распределения и иметь среднее, равное, дисперсию, среднее квадратическое, где- объем выборки.

Для такого распределения, как мы показали раньше, наблюдений лежат в интервале, т.е.,в интервалеив интервале. В общем случае, вместо конкретных цифрможно взять некоторый параметрt и записать:

(5.7)

где γ – процент наблюдений, которые попадают в интервал .

С другой стороны величина γ равна, как мы знаем, (см. ф. (3.16)).

Или говорят, с надежностью доверительный интервалпокрывает неизвестный параметрс точностью.

Здесь, наоборот, мы задаемся надежностью (или доверительной вероятностью) , а знаяпо таблицам для функции Лапласа находим параметри далее - доверительный интервал.

Но для этого нам необходимо знать истинное значение параметра генеральной совокупности , которое нам неизвестно.

Поэтому на практике вместо параметра используют выборочное среднее квадратическое отклонение. То есть доверительный интервал определяется выражением

(5.8)

Но при этом параметр это ужепараметр распределения Стьюдента, который находится по соответствующим таблицам при данных и, где- задаваемая надежность, или доверительный интервал. Этот интервал покрывает неизвестный параметрс надежностью, гдеинаходятся по формулам (5,3), (5.4) и (5.5), (5.6) соответственно.

Пример. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью, зная выборочную среднюю, объем выборки, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Имеем . Отсюда. По таблице значений функции Лапласа находим. Отсюда

5. Применение критерия Стьюдента для сравнения двух генеральных совокупностей.

Пусть нам надо оценить эффективность действия рекламы какого-то товара.

До запуска рекламы продажа товара по неделям (в шт.) имела следующий вид:

После выпуска рекламы продажа этого же товара по неделям стала иметь вид:

Следовательно, доверительный интервал с надежностью для первой выборки равен

А для второй

Таким образом, если по средним мы можем сделать положительный вывод о влиянии рекламы товара, то по доверительным интервалам мы вправе сомневаться: уж очень велики интервалы, и они значительно перекрывают друг друга (см. рис. 5.3).

Однако нам необходимо со всей определенностью истолковать результаты эксперимента.

Мы можем высказать два предположения (статистические гипотезы).

1. Нулевая гипотеза. Между генеральными совокупностями с параметрами и,иразница равна нулю, т.е.. Следовательно, разница между выборочными среднимивозникла случайно, в процессе группировки данных.

2. Альтернативная гипотеза, т.е. противоположная.

Для проверки этих гипотез существуют специальные параметры, которые табулированы и приводятся в соответствующих справочниках.

В частности, если сравниваемые генеральные совокупности имеют нормальный закон распределения, то сравнение выборочных средних проводят с помощью иликритерия Стьюдента:

где .

Согласно нулевой гипотезе , отсюда:

(5.9)

Нулевая гипотеза (разницы нет) отвергается, если для заданной надежности и числа (степеней свободы). Здесь- фактический коэффициент Стьюдента, найденный по формуле (5.9), а- теоретический коэффициент, найденный по специальным таблицам.

Для нашего примера ,. Следовательно,. По таблицам, для надежностии числа, находим. Итак,и нулевая гипотеза сохраняется: разница между результатами опыта и контроля оказалась статистически недостоверной.

Таблица Стьюдента.

k	Уровни надежности
	95 %	99 %	99,9 %
7	2,37	3,50	5,51
8	2,31	3,36	5,04
9	2,26	3,25	4,78
10	2,23	3,17	4,59