Математика_2 / 2 семестр / Лекц.Мат-ка Базов / 9.ТеорВер / ТВКРК

4

ТеорВер

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (краткое изложение по Гмурману)

А). Одно событие.

Невозможное = . Достоверное . Случайное .

Б). Несколько событий.

I). Несовместные - вместе не могут произойти. Может произойти либо , либо , либо и т.д. Вероятность того, что произойдет либо , либо , либо …. Равна:

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Полная группа событий. Вероятность полной группы событий равна единице. Противоположные события и составляют полную группу событий, поэтому

II). Совместные события - которые могут произойти совместно.

1. Условная вероятность - вероятность события при условии, что событие произошло - .

2. Произведение вероятностей (именно совместных):

Вероятность совмещения совместных событий равна вероятности одного, умноженной на вероятность другого, при условии, что первое событие произошло.

2.а Обобщение:

3. Совместные, но независимые события (они не могут быть условными, т.к. ни от чего не зависят):

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей.

3.а Обобщение на случай нескольких независимых в совокупности событий

4. Вероятность появления хотя бы одного события из полной группы совместных событий:

4.а. Если вероятности одинаковы .

5. Вероятность появления суммы (т.е. либо либо ) совместных событий равна

5.а. При этом, если события зависимы, то

5.б. Если события независимы, то

6. Пусть событие может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий , составляющих полную группу. Тогда

Это формула полной вероятности.

7. Пусть событие может произойти лишь при появлении одного из несовместных событий , составляющих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из них наступит, их называют гипотезами. При наступлении события вероятности событий изменятся. Тогда

Это формула Байеса.

8. Вероятность того, что в серии испытаний событие , вероятность которого постоянна и равна , появится ровно раз, определяется формулой Бернулли:

9. Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции:

Иногда ее называют теоремой Муавра – Лапласа.

10. Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

Распределение вероятностей дискретной случайной величины

11. Биноминальный закон. Распределение вероятностей дается формулой Бернулли, где случайная величина число появлений события , вероятность которого постоянна и равна в серии испытаний.

12. Распределение Пуассона. Здесь случайная величина также число появлений события , вероятность которого постоянна и равна в серии испытаний, но - очень велико, - очень мало, а . Вероятность случайной величины определяется формулой:

13. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаний равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Или, математическое ожидание биноминального распределения равно .

14. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаний равно произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в каждом испытании:

Или, дисперсия биноминального распределения равна .

15. Производим измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях. Эти величины имеют одинаковое распределение вероятностей, следовательно, одинаковые числовые характеристики, кроме того, они взаимно независимы.

15.а. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:

15.б. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин:

15.в. Среднее арифметическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего арифметического отклонения каждой из этих величин:

.

16. Теорема Чебышева. Если - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены, то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

Среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины.

17. Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико:

18. Нормальное распределение:

Интеграл Пуассона .

19. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины

где - функция Лапласа .

20. Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины

Или, положив - .

21. Правило трех сигм. Положив , получим:

22. Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема). Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение близкое к нормальному.

Эмпирическим называют распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика.

Теоретическим называют распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей.

Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

1. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном :

С надежностью доверительный интервал покрывает неизвестный параметр с точностью .

2. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном :

С надежностью доверительный интервал покрывает неизвестный параметр . Здесь - параметр Стьюдента, зависящий от и и находимый по специальным таблицам Стьюдента.

FVB