Математика_2 / 2 семестр / Лекц.Мат-ка Базов / 9.ТеорВер / 5

6

ТеорВер

§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Оглавление.

1. Леммы Чебышева.

2. Закон больших чисел Чебышева.

3. Частный случай закона больших чисел Чебышева.

4. Закон больших чисел Бернулли.

1. Леммы Чебышева.

В этом пункте докажем следующие две леммы, принадлежащие Чебышеву.

Лемма 1. Пусть — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения; тогда

Доказательство: Для простоты докажем это утверждение для дискретной случайной величины , принимающей значения x₁, x₂, ..., x_n, при условии . По аксиоме сложения вероятностей имеем

где суммирование распространено на все значения x_i, большие или равные единице. Но для , очевидно,

Поэтому

(50)

где x_i<1. Эта сумма неотрицательна, так как все по условию, а вероятности . Поэтому

(51)

Последняя сумма распространена на все значения x_i, принимаемые случайной ветчиной . Но эта сумма по определению равна математическому ожиданию:

Сопоставляя соотношения (50) и (51), имеем

Тем самым лемма доказана.

Лемма 2. Пусть — случайная величина, а - положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности

(52)

Неравенство (52) называется неравенством Чебышева.

  Доказательство:    Рассмотрим сначала неравенство . Так как оно равносильно неравенству то

Случайная величина    неотрицательна и, значит, удовлетворяет условиям первой леммы Чебышева. Следовательно, 

так как _.

Поэтому

(53)

Так как событие, выражаемое неравенством , противоположно событию, выражаемому неравенством , то

Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим

2. Закон больших чисел Чебышева.

Имеет место следующее утверждение.

Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. для любого i. Тогда, каково бы ни было , справедливо соотношение

(54)

Доказательство:    Обозначим через величину , т.е. среднюю арифметическую n случайных величин. Случайная величина имеет математическое ожидание

и дисперсию

(здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине вторую лемму Чебышева, найдем, что

т.е.

так как при любом i и, следовательно,

Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим 

Переходя к пределу при , имеем

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем.

В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.

То есть, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения а меньше, чем на .

3. Частный случай закона больших чисел Чебышева.

Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. и одинаковые математические ожидания . Тогда, каково бы ни было , справедливо соотношение

Это непосредственно следует из формулы (54), так как

Замечание. Говорят, что случайная величина сходится по вероятности к числу А, если при сколь угодно малом вероятность неравенства с увеличением n неограниченно приближается к единице. Сходимость по вероятности не означает, что .

Действительно, в последнем случае неравенство выполняется для всех достаточно больших значений n. В случае же сходимости по вероятности это неравенство для отдельных сколь угодно больших значений n может не выполняться. Однако невыполнение неравенства для больших значений n есть событие очень редкое (маловероятное). Принимая это во внимание, частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.

 Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин , имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания , сходится по вероятности к а.

Поясним смысл частного случая закона больших чисел Чебышева.

Пусть требуется найти истинное значение а некоторой физической величины (например, размер некоторой детали). Для этого будем производить ряд независимых друг от друга измерений. Всякое измерение сопровождается некоторой погрешностью. Поэтому каждый возможный результат измерения есть случайная величина (индекс i — номер измерения). Предположим, что в каждом измерении нет систематической ошибки, т. е. отклонения от истинного значения а измеряемой величины в ту и другую стороны равновероятны. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны измеряемой величине а, т. е. _.

Предположим, наконец, что измерения производятся с некоторой гарантированной точностью. Это значит, что для всех измерений . Таким образом, мы находимся в условиях закона больших чисел Чебышева, а потому, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения а меньше, чем на _.

4. Закон больших чисел Бернулли.

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли (13):

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

(55)

иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).

Доказательство:    Рассмотрим случайную величину . Так как и (см. § 4, п. 2, пример 3), то

Применим к случайной величине вторую лемму Чебышева:

Переходя к пределу при , очевидно, имеем

Мы говорили (см. § 1, п. 1), что при большом числе испытаний частота события А обладает свойством устойчивости. Это обстоятельство находит свое объяснение в законе больших чисел Бернулли.

FVB