19 Vektor

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Оглавление.

1. Понятие вектора.

2. Линейные операции над векторами.

3. Понятие линейной зависимости векторов.

4. Понятие о проекциях.

5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.

5.а. Скалярное произведение векторов.

5.б. Векторное произведение.

5.в. Смешанное произведение трех векторов.

1. Понятие вектора

Все величины бывают скалярные и векторные. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая вполне определяется своим численным значением.

Примеры физических скалярных величин: -температура;- масса;- плотность;- длина;- площадь и т.д.

Вектором или векторной величиной называется величина, которая характеризуется не только своим численным значением, но и определенным направлением в рассматриваемом пространстве.

Векторы - сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля.

Определение 1. Направленный отрезок (или, и что то же, упорядоченная пара точек - начало и конец отрезка) называется вектором.

Геометрическое изображение вектора:

Обозначение вектора: , либолибо жирной строчной буквой. Направление на отрезке обозначается стрелкой.

Численное значение вектора называется его модулем или абсолютной величиной и обозначается: ,.

Нулевой вектор – это вектор у которого начало и конец совпадают. Он обозначается и его модуль равен нулю, а направление неопределенно.

Определение 2. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают: .

Определение 3. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение 4. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковую длину.

Из этого определения следует, что мы будем изучать свободные векторы. То есть вектор параллельно самому себе, не изменяя направления, можно переносить в любую точку пространства.

Векторы являются предметом векторного исчисления подобно тому, как числа являются предметом арифметики или алгебры.

2. Линейные операции над векторами.

К линейным операциям над векторами относятся операции умножения вектора на число и сложение векторов.

Определение 5. Под произведением вектора на числопонимается вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;

2. вектор коллинеарен вектору ();

3. векторы и направлены одинаково, еслии противоположно, если.

Произведение вектора на числообозначается.

Замечание 1. Пусть , рассмотрим вектор, тогда. Векторыиколлинеарные и одинаково направлены, тогда-единичный вектор, сонаправленный с . Вектор-орт вектора , и обозначается⁰, т.е. иили.

Замечание 2. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора существует и притом одно число , удовлетворяющее равенству . Тогда и, если и одинаково направлены и, если они противоположно направлены.

Определение 6. Суммой двух векторов и , приведенных к общему началу, является диагональ параллелограмма (см. рис. 1), построенного на этих векторах как на сторонах (правило параллелограмма). Правило треугольника:

начало следующего вектора поместить в конец предыдущего и вектор, соединяющий начало первого с концом последнего есть вектор суммы (см. рис. 2).

Чтобы сложить несколько векторов, достаточно начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего, тогда замыкающий вектор, идущий из начала первого в конец последнего, будет вектором суммы (правило многоугольника см. рис. 3).

Если точка совпадает с точкой, то сумма векторов равна нулю.

Определение 7. Вектором, противоположным к данному вектору , называется вектор, модуль которого равен модулю вектора, а направление противоположно (см. рис. 4).

Определение 8. Под разностью двух векторов и понимается такой третий вектор , который при сложении с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор .

Правило построения разности векторов и :

Приводим векторыи к общему началу, и соединяем концы векторов и . Вектор разности направлен из конца вычитаемого вектора () в конец уменьшаемого вектора (см. рис. 5).