8.В. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами гиперболы, постоянна и равна (рис. 16).

Фокальная ось гиперболы ;, – фокальные радиусы гиперболы,

соответствующие точке .;, ( по свойству сторон треугольника).

Каноническое уравнение гиперболы

.

Обозначим , тогда уравнение гиперболы примет вид:

. (34)

Вершины гиперболы: – вещественные вершины;– мнимые вершины.

Прямые являются асимптотами гиперболы (рис. 17).

Гипербола состоит из двух несмыкающихся ветвей, лежащих в углах между прямыми ,и неограниченно приближающихся к этим прямым.вещественная ось,– мнимая ось.

Эксцентриситет гиперболы .

Директрисы гиперболы обладают тем свойством, что отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Уравнение директрис или.

8.Г. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от заданной прямой (директрисы) и заданной точки (фокуса). Пусть точка – фокус. Прямая– директриса параболы;– произвольная точка параболы,параметр параболы.

По определению параболы . Уравнение параболы с вершиной в точкеи директрисой(см. рис. 18) , заданной уравнением, имеет канонический вид:

. (35)

Замечание: если положить, то, то есть(). Эксцентриситет параболы = 1.

Другие виды параболы:

2) (рис. 19) - парабола с осью симметрии, фокусоми директрисой.

3)- (рис. 20.) парабола с осью симметрии, фокусоми директрисой.

4) - (рис. 21.) парабола с осью симметрии, фокусоми директрисой.

Пример 18. Установить, что уравнение

определяет эллипс. Найти его центр , полуоси, координаты фокусов,, эксцентриситет и уравнения директрис. Сделать чертеж.

Решение.

1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые, содержащие одноименные координаты и вынесем коэффициенты при квадратах за скобки:

.

Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата и полученные свободные константы перенесем в правую часть:

,

,

.

Разделим обе части уравнения на 45, получим

.

2. Введем новую систему координат , полученную сдвигом по каждой из координатных осей, и связанную со старой декартовой системой координат равенствами:

(1).

Тогда, исследуемое уравнение кривой относительно новых осей примет вид:

, .

Это есть канонический вид эллипса с центром , большой полуосью, малой полуосью. Фокусы эллипса располагаются на осина расстоянииот начала координат, в точках,в новой системе координатXOY.

Вычисляем, ,,. Мера сжатия, то есть эксцентриситет, дается равенством. Отсюда. Директрисы эллипса в системеXOY задаются уравнениями . В нашем случае,.

3. Чтобы найти координаты центра и фокусов в старой системе , воспользуемся равенствами (1), осуществляющими связь систем координат:

центр : , ,

фокусы : _, , : , .

Уравнения директрис: .

4. Теперь построим эллипс. С помощью параллельного переноса системы координат образуем новую систему координаттак, чтобы новое начало координатсовпадало с точкой. При указанном выборе, оси координат системыявляются осями симметрии эллипса, а точка- центром симметрии. Теперь симметричнопо осиотложим отрезки длины, а по осиотрезки длины.

Соединив найденные вершины, получим эллипс. На оси симметрично относительнона расстоянииотложим точки,- фокусы эллипса. Так как директрисы эллипса описываются уравнениями, то они располагаются параллельно , причем одна из них проходит через точку , другая через.

Остальные примеры в другом файле.