9. Интегрирование иррациональных выражений.
1. Интегралы вида
Пусть
– общий знаменатель
.
Тогда
эффективна замена переменных:
2. Интегралы вида
Пусть
– общий знаменатель
.
Тогда
эффективна замена
.
Пример 11.
Взять интеграл
Сделаем замены:
В результате чего интеграл преобразуется к виду
Подынтегральное выражение разложим на простейшие дроби
Найдем выражение для
коэффициентов
,
для чего правую часть полученного
выражения приведем к общему знаменателю:
Дроби равны, знаменатели равны, значит должны быть равны и числители
Сгруппируем правую часть
по степеням
:
Полученное уравнение эквивалентно системе уравнений
Решая эту систему, получим:
Следовательно:
Интегрируя, получим:
Возвращаясь к старым переменным, получим:
Преобразовывая, получим окончательно:
Пример 12.
Взять интеграл
.
Сделаем замену:
.
Выразим
через
:
Найдем дифференциал
:
В результате чего наш интеграл примет вид:
Выполним преобразования:
Подынтегральное выражение представим в виде суммы элементарных дробей:
Аналогично предыдущему
примеру, запишем выражение для определения
коэффициентов
Возведем в квадрат скобки:
Перемножим скобки
Приведем подобные члены
Перегруппируем по степеням
Для определения коэффициентов
получили систему
Упростим третье уравнение
Преобразуем полученную систему
Решая ее, получим выражения
для коэффициентов
Подставим найденные значения
коэффициентов
в наше уравнение
Проинтегрировав, получим:
Возвращаемся к "старой"
переменной
Упростим получившееся выражение
.
Интегрирование рациональных функций, т.е интегрирование выражений вида:
В зависимости от конкретного вида выражения, существуют разные способы интегрирования.
1.
Выделение полного квадрата
2. Тригонометрические замены.
FVB