14 ОбДифУр Обыкновенные дифференциальные уравнения

Оглавление.

1. Дифференциальные уравнения их классификация.

2. Уравнения первого порядка.

3. Уравнения с разделяющимися переменными.

4. Однородные уравнения первого порядка.

5. Линейные уравнения.

6. Уравнение Бернулли.

7. Уравнения в полных дифференциалах.

8. Дифференциальные уравнения второго порядка.

9. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

1. Дифференциальные уравнения их классификация

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными.

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка можно записать так:

где - неизвестная переменная,- искомая функция переменной,- ее производные,- заданная функция своих аргументов. Функцияможет не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от(когда речь идет об уравнениипорядка).

Если данное уравнение разрешимо относительно производной порядка, его можно представить в виде

Функция , определенная и непрерывно дифференцируемаяраз в интервале, называется решением дифференциального уравнения в этом интервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т.е.

2. Уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее производную. Если - функция независимой переменной, то в общем виде уравнение записывается так:

Если это уравнение разрешимо относительно , то

откуда , или, в более общем виде

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , обращающая уравнение в тождество. В случае, если эта функция задана в неявном виде, решение называют интегралом. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , где- произвольная постоянная, обращающая данное уравнение в тождество.

Общее решение , заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.

Геометрически общее решение (или общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра .

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении :, где- число. Аналогично определяется частный интеграл.

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условиюпри. Другими словами, найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку.

В каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение. Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственное ли оно.

Для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно форме

задача Коши имеет решение и при том единственное для любой точки , если заданная функциянепрерывна вместе со своей частной производной.