4.3. Уравнение движения машины в форме кинетической энергии

Рассмотрим состояние механизма при двух различных положениях ведущего звена, разделяемых каким – либо промежутком времени dt или, например, углом dφ поворота ведущего звена - кривошипа (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Кинематические и динамические параметры механизма при различных положениях звена приведения.

При положении кривошипа φ₀ угловая скорость звена приведения ω₀; I_пр.0 – приведенный момент инерции механизма в рассматриваемом положении.

При положении φ₁= φ₀+dφ угловая скорость звена приведения ω₁, I_пр.1 – приведенный момент инерции механизма.

Изменение кинетической энергии механизма ΔЕ за этот промежуток времени будет равно разности работ сил движущих А_дв. и сил сопротивления А_сопр., выполненных за это время (или избыточной работе ):

ΔЕ = А_{дв .}- А_{сопр .}= А_изб. (4.7)

Здесь ΔЕ = Е₁ - Е₀ = , (4.8)

где Е₀ и Е₁ – величины кинетических энергий механизма при положениях φ₀ и φ₁ кривошипа,

А_дв. = , (4.9)

А_сопр. = , (4.10)

где М_дв. и М_сопр. – приведенные моменты сил движущих и сил сопротивлений.

Подставив (4.8…4.10) в (4.7), получим:

(4.11)

Из (4.11) выразим угловую скорость кривошипа при положении :

(4.12)

Уравнение (4.12) называют уравнением движения машины в форме кинетической энергии.

4.4. Уравнение движения машины в дифференциальной форме

Уравнение (4.11) можно записать в следующем виде:

, (4.13)

где М_пр.=М_пр.^дв.+М_пр.^сопр. – суммарный приведенный момент сил движущих и сил сопротивлений.

Продифференцируем (4.13) по переменной φ:

;

(4.14)

Преобразуем , разделив числитель и знаменатель на, и получим:

,

где - угловое ускорение.

Тогда уравнение (4.14) можно записать в следующем виде:

(4.15)

Это есть дифференциальное уравнение движения машины для ведущего вращающегося ведущего звена.

Дифференциальное уравнение движения машины для поступательно движущегося ведущего звена выводится аналогично предыдущим выкладкам и имеет вид:

(4.16)

Решать дифференциальные уравнения движения можно графическим или численным методом (методом последовательных приближений).

4.4 Режимы движения машины

В общем виде движения машины можно разделить на три основных режима (периода): разгон, установившееся движение и останов (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Схема режимов движения машины

В режиме разгона угловая скорость в начале режима , в конце, что следует из уравнения (4.12). При этом всегда, иначе разгон невозможен.

В режиме установившегося движения , изменение кинетической энергии (в среднем за один оборот ведущего вала). В пределах одного оборота происходят периодические колебания угловой скорости вала машины.

В режиме останова (когда двигатель отключен) . При этом выполняется работа, затрачиваемая на преодоление сил трения.

4.5. Механический кпд механизма

В период установившегося движения машины соблюдается условие равенства работ сил движущих и сил сопротивлений:

А_дв.=А_сопр.

Работа сил сопротивления складывается из суммы работ сил полезного сопротивления А_{пол.сопр.} и сил вредного сопротивления А_{вр.сопр.}. Тогда

А_дв. = А_{пол.сопр.} + А_{вр.сопр.}

Разделим левую и правую части равенства на величину работы сил движущих:

и получим

1 = η + φ , где

- механический (цикловой) коэффициент полезного действия (КПД),

- коэффициент механических потерь.

Определение КПД машинного агрегата при последовательном соединении входящих в него механизмов

Рассмотрим машинный агрегат, состоящий из последовательно соединенных механизмов, условно обозначенных на схеме (рис. 4.6) цифрами 1, 2 и 3.

A₁

A₂

A

A₃

Рис. 4.6. Машинный агрегат с последовательно соединенными механизмами

Пусть к механизму 1 подводится работа величиной А. На выходе мы получаем работу величиной А₁, которая подводится к механизму 2 и т. д. Причем величина работы на выходе всегда меньше, чем подведенная работа на входе (А₁<A, A₂<A₁, A₃<A₂), так как в каждом механизме имеются механические потери подведенной к нему работы.

Тогда общий КПД машинного агрегата равен:

.

а КПД каждого механизма можно выразить так:

; ;.

Перемножим КПД всех последовательно соединенных механизмов и получим:

.

Отсюда следует обобщенный вывод: общий механический КПД машинного агрегата, состоящего из последовательно соединенных n механизмов, равен произведению их КПД:

(4.17)

Определение КПД машинного агрегата при параллельном соединении входящих в него механизмов

Рассмотри машинный агрегат, состоящий из трех параллельно соединенных механизмов, условно обозначенных на схеме (рис. 4.7) цифрами 1,2 и 3. Пусть к механизмам подводится работа величиной А, которая распределяется на каждый механизм в разных долях, определяемых коэффициентами а₁, а₂, а₃, каждый из которых меньше 1, а их сумма равна

а₁ + а₂ + а₃ = 1

А₁

А₂

А

А₃

Рис. 4.7 Машинный агрегат с параллельно соединенными механизмами

Тогда общий КПД всего машинного агрегата можно выразить отношением суммы работ на выходе механизмов к общей подведенной работе А:

(4.18)

Так как

; ,

; ,

; ,

то, подставив эти выражения в (4.18), получаем

.

Отсюда следует, что общий механический КПД машинного агрегата при параллельном соединении механизмов равен сумме величин КПД каждого механизма, умноженных на коэффициенты долей работ, подводимых к механизмам:

(4.18)

Сравним варианты последовательного и параллельного соединения механизмов с точки зрения минимизации механических потерь в машинном агрегате.

Пусть величины КПД каждого механизма равны . При этом коэффициенты, учитывающие доли распределения общей работы А между всеми механизмами, также равны

.

Тогда

, .

Так как η < 1, то η³ < η. Отсюда следует, что параллельное соединение механизмов в машинном агрегате предпочтительнее с точки зрения уменьшения механических потерь.

Самоторможение.

Если А_дв.<А_{вред.сопрот.}, то действительного движения механизма произойти не может. Это называется явлением самоторможения. Следовательно, если при теоретических расчетах получим η < 0, то это значит, что механизм в заданном направлении двигаться не может.

Для возможности движения механизма необходимо обеспечить условие:

0 ≤ η < 1.