§9. Непрерывные случайные величины

9.1. М[Х] = ; D[X] =;σ[X] = ; Р{0 < Х1,5} = 0,25;9.2. a = ;М[X] = 0; D[X] = ;σ[X] = ;Р{Х ≤ 0} = ; Р{Х = –1} = 0; Р{Х > 0,5} = ; 9.3. ; ; 9.4. а = ;b = ; ; Р{0 ≤ Х ≤ 1} = ; 9.5. а = 1; ; P{2 < X < 3} =;9.6. ;;9.7. ;М[Х] = ; D[X] =;σ[X] = ;9.8. a = ;М[X] = 2; D[X] = ;σ[X] = ;Р{Х ≤ 3} = ; Р{2 <Х< 5} = ; Р{Х > 3,5} = ; 9.9. ;М[X] = 2; D[X] = 8; σ[X] = ;9.10. а = 3; ; P{2 < X < 4} =;Р{–2 < Х< 2} = ; 9.11. ;;.

§10 Биномиальное распределение

10.1. 0,625; 10.2. M[X] = 2; D[X] = 1,9;

10.3.	x	0	1	2	3	4
	p	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

M[X] = 0,4; D[X] = 0,36; [X] = 0,6; 10.4. D[X] = 0,495; 10.5. M[X] = 800; D[X] = 160; [X] =  12,65; 10.6. n = 144; p = 0,5;

10.7.

10.8	x	0	1	2	3
	P	0,008	0,096	0,384	0,512

M[X] = 2,4; D[X] = 0,48; [X] =  0,693.

§11. Пуассоновское распределение

11.1. 0,375; 11.2. ;11.3.  =2; P{X > 0} = 1e²  0,865; 11.4. а) 0,135; б) 0,336; 11.5. а) 0,15; б) 0,575; 11.6. 0,135; 11.7. M[X] = 60; D[X] = 60; [X] =  7,75; 11.8. а) 0,225; б) 0,2; в) 0,575; г) 0,95; 11.9. 0,8.

§12. Равномерное распределение

12.1. M[X] = 5; D[X] = 3; [X] =  1,73; 12.2. 0,6; 2,5 мин.; 12.3. P{X > 0,02} = 0,3; P(> 0,02) = 0,6; 12.4. ; 12.5. а) 0,7; б) 0,25; 12.6. 0,4.

§13. Показательное распределение

13.1. а) M[T] = 0,2; D[T] = 0,04, [T] = 0,2; б) M[T] = 10; D[T] = 100, [T] = 10; 13.2. 0,117; 0,632; 13.3. а) 0.918; б) 0,471; 13.4. 0,135; 13.5. 0,233; 13.6. a) 0,029; б) 0,657; в)0,314; г)0,343; 13.7. ; 13.8. 0,865; 13.9. a) 0,950; б) 0,050.

§14. Нормальное распределение

14.1. а) M[Х] = –5; D[Х] = 9, [Х] = 3; б) M[Х] = 1; D[Х] = 16, [Х] = 4; 14.2. f_4, 2 (x)=; P{1  X  5} = 0,6247; P{X  5} = 0,6915; 14.3. 0,2358; 14.4.  = 10; 14.5. a = 8,  = 5; 14.6. 0,9864; 14.7. 0,9876; 14.8. 0,3108² = 0,0966; 14.9. a) 1,24%; б) 13,58%; 14.10. 12 мм; 0,9544; 14.11. 0,00135; 14.12. 0,7588; 14.13.  =4; 0,3085; 14.14. a) 0,8533; б) 0,9736; 14.15. 0,8533; 14.16. 0,9868.

§15. Теоремы группы ЦПТ

15.1. 0,8413; 15.2. 0,00087; 15.3. а) 0,0605; б) 0,8185; в) 0,0062; 15.4. 0,9708; 0,000011; 0,0720; 15.5. 0,9192; 15.6. 0,8413; 15.7. а) 0,0579; б) 0,0019; 15.8. а) 0,4887; б) 0,5; в) 0,5.

§16. Двумерные случайные величины

16.1	Х	2	3	9		У	0,2	0,8
	P	0,26	0,38	0,36		Р	0,56	0,44

Х у = 0,2	2	3	9		У х = 3	0,2	0,8
Р	0,321	0,393	0,286		Р	0,579	0,421

16.2. M[Х] = 0,69; M[X²] = 0,867; D[Х] = 0,3909, [Х] = 0,6252; M[У] = 1,5; M[Y²] = 2,5; D[Y] = 0,25, [Y] = 0,5; M[XY] = 1,07; K_xy = 0,035; r_xy = 0,11196; 16.3. M[Х] = 1,4; M[X²] = 2,38; D[Х] = 0,42, [Х] = 0,648; M[У] = 0,6; M[Y²]= 0,78; D[Y] = 0,42, [Y] = 0,648; M[XY] = 0,42; K_xy= –0,42; r_xy= –1; зависимы;

X У	0	1	2
0	0	0	0,49
1	0	0,42	0
2	0,09	0	0

16.4. f(x) = 2(1 – x) при 0  x  1; M[Х] = ; M[X²] = ;D[Х] = , [Х] = ; f(y) = 2(1 – y) при 0  y  1; M[У] = ; M[Y²] = ; D[Y] = , [Y] = ; M[XY] = ; K_xy = –; r_xy = –; F(x;y) = 2(1 – x)(1 – y) при (х;у) D; 16.5. а = 4; f(x) = 2x при x[0;1], f(y) = 2y при y[0;1]; f(xy) = 4xy = 2x2y = f(x)f(y)  X и Y независимы  K_xy = r_xy = 0, f(y_x) = 2y, y[0;1], f(x_y) = 2x, x[0;1],

16.6. f(x) = , x[–5;5]; M[Х] = 0; [Х] = 2,5; f(y) = , y[–5;5]; M[Y]=0, [Y]=2,5; M[XY]=0; K_xy= r_xy=0; f(x)f(y) =  = f(x; y)  X и Y – зависимы;

16.7. f(xy) = ; 16.8. M[Х] = 0,17; M[X²] = 0,079; D[Х] = 0,0501, [Х] = 0,2238; M[У] = 1,45; M[Y²] = 2,275; D[Y] = 0,1725, [Y] = 0,4153; M[XY] = 0,28; K_xy = 0,0335; r_xy = 0,3604; y_x = 0,6687x + 1,3363; x_y=0,1942y – 0,1116; 16.9. M[Х] = 0,5; M[X²] = 0,4; D[Х] = 0,15, [Х] = 0,3873; M[У] = 0,75; M[Y²] = 0,625; D[Y] = 0,0625, [Y] = 0,25; M[XY] = 0,375; K_xy = 0; 16.10. f(x) = 2x, x[0;1], f(y) = 0,5y, y[0;1] , f(xy)= xy = 2x0,5y = f(x)f(y)  X и Y независимы  K_xy = r_xy=0, f(x;y) = 0,25x²y², (x;y)D; 16.11. f_x(x) = 0,5(sinx + cosx), x, f^y(y) = 0,5(siny + cosy), y, M[Х] = M[Y] = ; M[X²] = M[Y²] = ; D[X] = D[Y] = ; [X] = [Y]  0,4332; M[XY] = ; K_xy =  0,0461; r_xy  –0,2455; x и y – зависимы; , (x,y)D; , (x,y)D; 16.12. f(x,y) = abе ^{– (ах+bх)} ; 16.13. M[Х] = 1,4; M[X²] = 2,15; D[Х] = 0,19, [Х] = 0,4359; M[У] = 0,7; M[Y²] = 1,1; D[Y] = 0,61, [Y] = 0,7810; M[XY] = 1; K_xy = 0,02; r_xy = 0,0587; y_x = 0,1053x + 0,5526; x_y = 0,0328y + 1,3770 (или y = 30,5x–42).