§15. Теоремы группы цпт

Центральной предельной теоремой (ЦПТ) называют группу теорем, дающих формулировки условий, при которых возникает нормальное распределение.

Теорема Линдеберга-Леви. Пусть Х₁ , Х₂ , … – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М[Х_i] = m и D[Х_i] = d. Последовательность случайных величин (так, что M[Z_n] = 0; D[Z_n] = 1) при n и произвольных  и  удовлетворяет условию , где – функция Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа. При больших n закон распределения биномиальной величины с параметрами n и p близок к нормальному с параметрами a = np и , т.е..

Локальная теорема Лапласа утверждает, что , откуда следует что, где

15.1. Х_i – независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром . Случайная величинаY равна . НайтиР{Y < 1100}.

15.2. В процессе вычислений производится сложение 100 чисел, округленных до четвертого десятичного знака после запятой. Используя правило «трех сигм», найти максимальную абсолютную погрешность результата.

15.3. Вероятность поражения цели при одном выстреле р равна 0,2. Производится 100 выстрелов. Случайная величина X – число попаданий. Найти вероятность того, что будет а) 24 попадания; б) от 16 до 28 попаданий; в) больше 30 попаданий.

15.4. На предприятии имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,7 всего рабочего времени. Найти вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными а) 72 станка; б) от 60 до 80 станков; в) более 90 станков.

15.5. Для контроля продукции из очень большой партии изделий выбираются случайным образом 100 изделий. Вся партия отвергается, если среди отобранных изделий будет не менее 10 дефектных. Какова вероятность отвергнуть партию, доля дефектных изделий в которой составляет 15%?

15.6. Х_i – независимые случайные величины, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке [–1; 1]. Случайная величина Y равна . Найти.

15.7. Предприятие выпускает в среднем 5% бракованных изделий одного наименования. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий будет a) 50 бракованных; б) более 70 бракованных.

15.8. Вероятность выхода из строя изделия за время испытаний на надежность q равна 0,05. Найти вероятность того, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя а) от 5 до 10 изделий; б) не менее 5 изделий; в) менее 5 изделий.

§16. Двумерные случайные величины

Двумерной называют случайную величину (Х, Y), возможные значения которой есть пары чисел (х, у). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М(Х, Y) на плоскости хОу, либо как случайный вектор .

Функция распределения двумерной случайной величины (Х, Y) определяется соотношением F(x; y) = P(X < x, Y < y) и геометрически определяет вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (Х, Y), лежащий левее и ниже ее.

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны; непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан с помощью таблицы:

X Y	х1	х2	…	хi	…
у1	p11	p21	…	pi1	…
у2	p12	p22	…	pi2	…
…	…	…	…	…	…
yj	p1j	p2j	…	pij	…
…	…	…	…	…	…

где x₁<x₂<…<x_i<…; y₁<y₂<…<y_j<…;

p_ij – вероятность события, заключающаяся в одновременном выполнении равенств Х = х_i; Y = y_j, при этом .

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины определяется равенством .

Закон распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть задан с помощью функции плотности вероятности f(x,y), удовлетворяющей условиям:

1) f(x; y)  0; 2).

Если все возможные значения (Х, У) принадлежат конечной области D, то .

Вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область D определяется равенством .

Связь плотности вероятности f(x, y) и функции распределения F(x ,y) двумерной непрерывной случайной величины задается соотношениями ; .

Законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины вычисляются по формулам ; .

Для нахождения законов распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины надо суммировать вероятности в таблице по строкам или по столбцам.

Условным распределением составляющей Х при Y = у_j (j – сохраняет одно и то же значение при всех возможных значения Х) называют совокупность условных вероятностей ,, …,.

Аналогично определяется условное распределение Y. Условные вероятности составляющих X и Y вычисляются соответственно по формулам

; .

Для непрерывных случайных величин формулы вычисления условных плотностей распределения выглядят так:

; .

Числовые характеристики составляющих вычисляются по формулам:

; – для дискретных случайных величин;

; – для непрерывных случайных величин;

; ;

; .

Точка называется центром рассеяния двумерной случайной величины(X, Y).

Для оценки тесноты взаимосвязи составляющих вычисляют корреляционный момент или ковариацию .

Корреляционный момент удобно вычислять по формуле , гдев дискретном ив непрерывном случае.

Степень связи между составляющими в чистом виде характеризует так называемый нормированный корреляционный момент или коэффициент корреляции , обладающий следующими свойствами: 1)2)тогда и только тогда, когда случайные величины связаны линейной зависимостью.

Случайные величины Х, У называются некоррелированными, если К_XY = 0, а следовательно, и .

Случайные величины Х, Y называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Для двумерной дискретной случайной величины, представленной в виде таблицы распределения, условие независимости составляющих Х и Y состоит в том, что для любых i и j , где,. Внешне это выражается в том, что строки и столбцы таблицы пропорциональны.

Для двумерной непрерывной случайной величины условие независимости состоит в том, что .

Независимые случайные величины всегда некоррелированны. Обратное, вообще говоря, неверно (т.е. некоррелированные величины могут быть зависимыми).

Условным законом распределения случайной величины Y_x называется закон распределения случайной величины Y при условии, что Х = х.

Функциональная зависимость М[Y_x] = (x) называется регрессией случайной величины Y на случайную величину Х.

Среднее значение квадрата отклонения достигает минимально возможного, когда(х) – регрессия Y на Х (минимизирующее свойство регрессии).

Функция из класса функцийопределяемых набором параметрова₁ , …, а_k называется среднеквадратичной регрессией Y на Х в этом классе функций, если среднее значение квадрата отклонения достигает на наборе параметровминимального значения для всех функций этого класса.

Простейшей функцией является линейная: . Уравнение прямой среднеквадратичной регрессииY на Х выглядит так: .

Аналогично уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Х на Y: .

16.1. Восстановить законы распределения составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Найти условное распределение случайной величины Х при условии, что Y = y₁. Найти условное распределение случайной величины Y при условии, что Х = х₂ .

Х Y	2	3	9
0,2	0,18	0,22	0,16
0,8	0,08	0,16	0,2

16.2. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X], M[Y], D[Y], [Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.

Х Y	0	0,8	1,5
1	0,2	0,2	0,1
2	0,2	0,1	0,2

16.3. По некоторой цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Составить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х; Y), где Х – число попаданий, Y – число промахов. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y.

16.4. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X], M[Y], D[Y], [Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х; Y), имеющей плотность , гдеD – треугольник ограничен-ный линиями: х = 0; у = 0; х + у = 1. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения .

16.5. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) подчинена закону распределения с плотностью , гдеD – квадрат . Найти коэффициента. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.

16.6. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) распределена равномерно в круге радиуса R = 5 с центром в начале координат. Доказать, что составляющие Х и Y являются зависимыми и некоррелированными величинами.

16.7. Найти плотность вероятности f(x; y) двумерной случайной величины (Х; Y), имеющей функцию распределения .

16.8. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения:

Х Y	0	0,2		0,5
1	0,3	0		0,1
1,5	0,2	0,1		0
2	0,1	0		0,2

16.9. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X], M[Y], D[Y], [Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.

Х Y	0	0,5	1
0,5	0,2	0,1	0,2
1	0,1	0,3	0,1

16.10. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X], M[Y], D[Y], [Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х; Y), имеющей плотность , гдеD – прямоугольник . Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения.

16.11. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) подчинена закону распределения с плотностью , гдеD – квадрат . Определить, зависимы или нет составляющиеХ и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.

16.12. Найти плотность вероятности f(x; y) двумерной случайной величины (Х; Y), имеющей функцию распределения .

16.13. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения:

Х Y	1	1,5	2
0	0,3	0,1	0,1
1	0,1	0	0,2
2	0,1	0,1	0