Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости

Мысленно выделим в движущейся жидкости у точки М элементарный прямоугольный параллелепипет со сторонами dX, dY, dZ.

На жидкость, находящуюся в нем, действуют силы давления и массовые силы.

P

-- характеризует скорость изменения давления в направлении х

x

Массовые силы

Обозначим X,Y,Z проекции единичных массовых сил на соответствующие оси.

FmX X m FmY Y m FmZ Z m m dxdydz

FmX X dxdydz FmY Y dxdydz FmZ Z dxdydz

Воспользуемся принципом Д`Аламбера.

Если в любой момент к каждой точке приложить силу инерции этой точки, то эти силы инерции будут уравновешиваться заданными силами, действующими

Составив балансы сил, действующим по соответствующим осям, получим:

X dxdydz Px dxdydz dxdtdz dVdtX 0

Разделив почленно на массу параллелепипеда и стягивая его к точке М получим:

Преобразуем левую часть

Получим еще одну форму записи уравнений Эйлера, записав левые части через частные производные, которые называют субстанциональными

Дифференциальные уравнения движения реальной, вязкой жидкости

Система Эйлера усложняется. В нее вводится составляющая учитывающая вязкость. Уравнения носят название уравнений Навье – Стокса.

К уравнениям Эйлера и Навье – Стокса добавляется уравнение сплошности или неразрывности. Для постоянной плотности имеет вид:

VX VY VZ 0x y z

Из дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости легко получить дифференциальные уравнения покоящейся жидкости, приняв скорость «0».

Из последнего уравнения получим основное уравнение гидростатики.

Это случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила - сила тяжести и Х=0, У=0, Z=-g,

С – постоянная интегрирования, определяемая из ГУ, т.е.условий на границе жидкость – поверхность, когда при Z=Z0 P=P0