Теория принятия решений / pdf / Dec_make1

управлять оптимально, то величина оптимального выигрыша Wi+1 (S′). Если на i −ом

Um

i = m −1

Wm−1 (S )= max{fm−1 (S,Um−1 ) +Wm [ϕm−1 (S,Um−1 )]}

Um−1

Идя от конца интервала управления к началу, последовательно получают:

W m (S ),W m − 1 (S ),...,W1 (S ) Um (S ),Um−1 (S ),...,U1 (S )

Придя в начальное состояние W1(S), можно подставить реальное начальное состояние S = S0 и W1(S0) = Wmax – это безусловный выигрыш.

Теперь необходимо получить, идя от начала интервала управления к концу по цепочке, безусловно оптимальное уравнение:

U1 (S )=U1 (S0 )=U1*

ϕ1 (S,U1 )=ϕ(S0 ,U1* )= S1*

U2 (S )=U2*

ϕ2 (S,U2 )=ϕ(S1* ,U2* ).

В результате получим оптимальный процесс:

U1* ,U2* ,...,Um* ;Wmax .

1.5.4. Задача распределения ресурсов

Это едва ли не самая распространённая в экономике задача. Под ресурсом в общем случае понимают физическую или абстрактную величину, которую система использует для производства полезного продукта. Например: горючее, деньги, время, объём склада. Как правило, ресурс ограничен, поэтому встаёт задача так распределить ресурс между отдельными элементами системы, чтобы суммарный эффект был

21

вторую вкладываютсяYi , тогда доход g(Yi ). Средства тратятся, принося доход, новых средств не поступает, и полученный доход не вкладывается.

m

Нас интересует суммарный доход: W = ∑[f (X i )+ g(Yi )]. Суммарный выигрыш

i=1

равен сумме выигрышей на каждом шаге. Состоянием системы является количество средств перед i −ым шагом. Так как новых средств не поступает, то ресурсы "тают".

Управление Yi может быть записано как Yi = k − X i . После i −го шага в первой отрасли остаются средства ϕ(X i ), а во второй ψ(Yi )=ψ(k − X i ). Эти функции

Исследуя функции траты, получим количество средств после i −го шага: Задача о распределении ресурсов допускает геометрическую интерпретацию.

X1 +Y1 = k0

Y

k0

Y1

ψ (Y1)

Распределение на первом шаге – указание точки на гипотенузе. После этого средства тратятся. Распределение средств – движение внутрь треугольника. Рассмотрим частные случаи задач о распределении ресурсов.

1.5.5. Распределение по неоднородным этапам

Выше мы считали, что все функции одинаковы на всех этапах. Во многих задачах функции меняются от этапа к этапу: fi (X i ), gi (Yi );ϕi (X i ),ψi (Yi ). Процедура

динамического программирования при этом принципиально не меняется. Уравнение Беллмана принимает вид:

Wi (k )= max{fi (X i )+ gi (k − X i )+Wi+1[ϕi (X i )+ψi (k − X i )]}.

Xi

Распределение ресурсов между тремя и более отраслями

В этом случае на каждом шаге будет уже n управлений, но одно из них может

22

n−1

быть выражено как: X in = k −∑X ij . В этом случае, в правой части уравнения Беллмана

j=1

будет две и более переменных, по которым ищется максимум, и задача усложняется.

Распределение ресурсов с резервированием

В такой модели, если средства распределяются между двумя отраслями, то какое-то количество средств можно оставить до последующего распределения. В этом случае задача имеет смысл даже для одной отрасли. Начальное количество средств

разделяется на первом этапе на X1 и на k − X1 (резерв), на втором этапе подлежат

разделению средства из резерва. Такую задачу можно представить как распределение средств между одной реальной и одной фиктивной (не приносящей доход и не расходующей средства) отраслью. Решение такой задачи сводится к классической, если для фиктивной отрасли заданы нулевые функции дохода и трат.

Подставив их в уравнение Беллмана, можно решить задачу как классическую. Задача может быть упрощена до следующей:

Это задача линейного программирования с одной переменной.

Пусть вид функции f (X i ) не убывающий, в этом случае недоиспользовать средства не выгодно. В этом случае решение дают следующие теоремы: если

1)f (X ) неубывающая и выпуклая вверх, то оптимальное распределение ресурсов равномерное.

2)f (X ) возрастающая и выпуклая вниз, то оптимальное решение – вложить

все средства в один этап, и ничего не резервировать. Таким образом, приходим к классической задаче.

Трата || оси Х.

Задача с резервированием в одной отрасли при параллельных функциях траты.

Все функции траты ϕ(хi )= 0 .

В этом случае задача сводится к более

простой.

ϕ(хi )= 0

W= ∑fi (xi ) → max

i=1

∑xi ≤ x0 .m

23

Рассмотрим еще более частный случай: все функции одинаковые на всех шагах. fi (x) = f (x), i

Эти функции неубывающие.

(1.2) – равенство, т.к. функция неубывающая и недоиспользование средств невыгодно. Это имеет теоретическое обоснование:

если функция неубывающая и выпуклая вверх, то оптимальным распределением является равномерное распределение;

если функция неубывающая и выпуклая вниз, то оптимальным распределением является такое: все распределение в один этап (элемент), и ничего в другие.

Распределение ресурсов "с вложением доходов в производство"

В классической задаче считается, что полученный доход на i −ом шаге в производство не вкладывается, т.е. он отчисляется и подсчитывается как эффект. Во многих задачах полученный эффект можно использовать как ресурс для следующего шага, объединяя его с оставшимся ресурсом. Если ресурс не деньги, то средства можно привести к единому эквиваленту с оставшимися средствами. Такая модель является развитием классической модели. Так как оставшиеся средства и доход объединяются, то можно ввести единую интегральную функцию – функцию изменения средств.

F(X i )−количество оставшихся средств плюс доход после i −го шага, если вложили

X i .

I. F(X i )

II. G(Yi )=G(k − X i ),

где k −количество средств перед i −м шагом.

Выигрыш на i −ом шаге зависит от того, как подсчитывается доход (эффект) от управления всеми ресурсами. Поставим задачу получить максимальный доход в конце

m −го шага. Тогда на всех шагах i =1,m −1 , доход = 0, Wi = 0 . На m −ом шаге выигрыш Wm = Fm (X m )+Gm (k − X m ). Подставив эти выражения в уравнение Беллмана, надо решать задачу от начала к концу, если имеется начальное количество средствk0 .

Здесь функция траты: k′= Fi (X i )+Gi (k − X i ).

Когда F и G неубывающие, то, чем больше значение доход + средства получается в конце i −го шага, тем лучшим условием это будет для проведения (i +1)−

го шага. Поэтому можно не заботиться о следующих шагах, достаточно обеспечить максимум на каждом шаге. Таким образом, процедура оптимизации возможна в одном

Рассмотрим задачу распределения ресурсов с вложением доходов в производство и отчислением. Это наиболее общий случай. Разделим функции дохода и

24

i =1,m −1

для i = m надо учесть уравнение (*).

Если ri =1 , то получим классическую задачу.

1.5.6. Учёт предыстории процесса

До сих пор мы считали, что функции как выигрыша, так и траты зависят от состояния перед i −ым шагом, т.е. не зависят от более ранних состояний. Такие процессы называются процессами без памяти. Но иногда при рассмотрении процессов, связанных с "живыми" организациями, требуется помнить всю историю происходящего. Такая задача более сложна. Введём расширенное состояние:

S = (S, Si−1 , Si−2 , , Si−L )

координат, и предыстория распространяется на L шагов, тогда сложность пропорциональна k ×L . Вот почему подобные задачи можно решать, если k ×L ≤3 .

1.5.7. Задача с мультипликативным критерием

Выше считалось, что суммарный выигрыш равен сумме выигрышей до i −го шага. Но есть задачи, где общий критерий равен произведению критериальных величин на каждом шаге. В этом случае также можно применить уравнение Беллмана.

m

W =∏Wi , но вместо этого можно взять функцию W ′= lnW . Тогда оптимальные

i=1

решения можно искать, как это делалось выше. Но можно и в уравнении Беллмана учесть, что:

Wi (S )= max{Wi ×Wi+1 (S′)}

U

W = F(W1,W2 , ,Wn )=iF(W1 ) F(W2 ) F(Wn )

Пример: устройство состоит из n узлов. Имеется некоторое устройство k0 ,

которое может использоваться для повышения надёжности каждого узла. Необходимо так распределить ресурс, чтобы суммарная надёжность была максимальной.

25

m

q(X i )−надёжность каждого узла. Q =∏qi (X i )→ max . ∑X i ≤ k0 .

i=1

1.5.8. Операции, не связанные со временем

Во многих задачах распределение ресурсов не связано с временными шагами. Ресурс обычно распределяется по объектам. Например, если расписать распределение ресурсов между n объектами, и на каждый объект задана функция выигрыша, то такая задача эквивалентна рассмотренной ранее задаче о распределении ресурсов с резервированием в одной отрасли по n шагам.

1.6. Введение в теорию управляемых систем

1.6.1. Понятие системы

Многообразие различных систем предполагает возможность их классификации с разных позиций. Разделение систем на классы позволяет облегчить проведение исследований. Для выделения классов можно использовать различные признаки (свойства). Тем не менее, остановимся лишь на одном классификационном признаке - характере поведения системы. В соответствии с этим признаком выделяют системы с управлением и без управления. Системы с управлением отличаются тем, что в них реализован процесс управления. Естественно, что в системах без управления этот процесс отсутствует.

Системы с управлением имеют черты, не обязательно присущие системам других классов:

1.в сохранении целостности системы решающая роль принадлежит информационным связям. Без регулярно осуществляемого обмена информацией эти системы не могут функционировать и сохранять целостность;

2.информация, поступающая в такие системы и содержащаяся в них, используется для управления;

3.каждая система с управлением имеет одну или несколько целей, разнесенных во времени. Если цель неизвестна, то функционирование системы становится бессмысленным;

4.системы с управлением способны переходить в состояние нарушения целостности. Смена состояний осуществляется в соответствии с управляющими воздействиями. Воздействие осуществляется не мгновенно, а в некоторый промежуток времени;

5.существует некоторое множество допустимых линий поведения системы, из которых осуществляется выбор предпочтительного поведения;

6.для таких систем характерна определенная структура, которая отражает контуры управления;

7.системы с управлением являются открытыми.

Эти черты дают новое качество систем - системы с управлением. Такие системы могут быть естественными и искусственными системы. Закономерности управления в искусственных системах изучаются кибернетикой.

1.6.2. Сущность управления с кибернетических позиций

26

Кибернетика предполагает исследование систем в информационном плане, абстрактно от других сторон. Суть процесса управления с позиций кибернетики сводится к следующему:

1.сбор информации о состоянии элемента системы, которым управляют, и среды;

2.сравнение существующего и требуемого состояния системы с управлением и выработка управляющего воздействия (решения) для перехода в новое состояние, приближающее систему к цели;

3.доведение решения до управляемого элемента.

Эта последовательность образует цикл управления.

Среда

КПС

УО КОС ОУ

Система управления Система с управлением

Чтобы осуществлять управление, необходимо наличие управляющего объекта (УО), объекта управления (ОУ), а также каналов связи между ними.

Управляющий объект предназначен для выработки информационных воздействий на основе собранной информации и выдаче их объекту управления. В качестве УО выступают живые организмы, ЭВМ.

Объект управления воспринимает информацию от управляющего объекта, а также выдает информацию о своем состоянии управляющему объекту. В качестве ОУ выступают живые организмы (их части) или технические устройства.

Система связи предназначается для обмена информацией между ОУ и УО. В системе связи могут быть каналы прямой и обратной связи.

Управляющий объект вместе с системой связи образуют систему управления. Существование системы с управлением бессмысленно, если отсутствует один из ее элементов.

Процесс функционирования систем с управлением осуществляется следующим образом.

Управляющий объект получает по каналам обратной связи информацию о состоянии объекта управления и среды. Это информация состояния. Исходя из полученной информации, определяется текущее состояние системы и среды. Текущее состояние сравнивается с требуемым, и вырабатывается информационное воздействие - командная информация, которое определяет новое состояние управляемого объекта. Совокупность правил, по которым информация состояния перерабатывается в командную информацию - алгоритм управления.

Путь, по которому циркулирует информация между ОУ и УО - контур управления. В системах с каналом обратной связи контур управления замкнут, в системах без обратной связи - разомкнут. Если имеется не один, а множество ОУ, то целесообразно говорить о многоконтурной системе с управлением.

27