12. Управление температурным полем объекта

План лекции

Введение.

12.1 Управление температурным полем.

Заключение.

12.1 Управление температурным полем.

Нагрев изделий в большинстве случаев происходит в печах, где температура является управляющим воздействием. При изменении подачи топлива в печь или изменении уставки электрического регулятора температуры может быть реализован любой температурный режим как в пространстве так и во времени.

Как правило результат термообработки в сильной степени зависит не от среднемассовой температуры обрабатываемого изделия, а от распределения температуры по его сечениям или по всему объему нагреваемого тела. В абсолютном большинстве случаев термообработки изделие, находящаяся в печи, представляет собой объект с распределенными параметрами. Состояние его определяется температурой T=T(t,x,y,z) в каждый момент времени t и в каждой точке M=M(x,y,z) геометрической области и физического пространства, занимаемого объектом [ 1,2].

Большое значение придается быстрому, качественному, с минимальными затратами нагреву изделия. В настоящее время существует много подходов к решению задачи получения заданного распределения температуры. Наибольший интерес и некоторые практические трудности встречаются при обеспечении требуемого распределения температуры при обработке длинномерных заготовок.

Рассмотрим модель, описывающую наиболее характерное с точки зрения создания неравномерного температурного поля сечение зонной печи рис.12.1.

Для упрощения задачи, не нарушая её общности, сделаем следующие допущения:

1. Материал всех стенок печи однороден и имеет коэффициентом теплопроводности ₁ ;

2. Отверстие для загрузки объекта в печь не оказывает существенного влияния на температурное поле, так как d₀/H « 1;

3. Теплообмен печи с внешней средой происходит по закону Ньютона с коэффициентом теплообмена ₁ ;

4. Источники лучистой энергии считаются точечными и распределены по высоте печи равномерно;

5. Объект управления представляет собой цилиндрический стержень диаметром d, материал которого имеет коэффициент теплопроводности ;

6. Температура по сечению объекта (x = const ) распределена равномерно, так как d « l, где l - длина стержня.

7. Теплообменом через торцы стержня - отсутствует, так как поперечное сечения объекта по отношению к его боковой поверхности принебрежимо мало.

8. Стенки печи прогреты равномерно по всему объему.

Пусть зонная печь состоит из i - зон, а в каждой зоне имеется j - нагревательных элементов, расположенных так, как показано на рис.1. Сопротивление нагревательного элемента можно считать равным сопротивлению, соответствующему реализуемой на нем температуре при заданном приложенном к нему напряжении, т.е.

, ( 1 )

, ( 2 )

где b_ij - коэффициент учитывающий преобразование напряжения, приложенного к нагревательному элементу, в его температуру;

R_ij - сопротивление нагревательного элемента ;

u_ij - действующее значение напряжения, прикладываемого к нагревательному элементу ;

u_H - номинальное значение напряжения.

Зависимость сопротивления нагревательного элемента от температуры имеет вид :

( 3 )

y

L

L - b

x_ij

x₀ - l

d  

x₁₃

x₀

x₁₁

b

m y₁ y₀ y₀ +d y₂ H-m H y

Рис. 12.1 Сечение зонной печи.

Поскольку температура включенного нагревательного элемента существенно больше 1000С то, очевидно, для него преобладает лучистый теплообмен.

Известно, что тело, нагретое до температуры излучает энергию по закону Стефана - Больцмана т.е.

, ( 4 )

где q_ij - плотность потока лучистой энергии от нагревательного элемента радиуса r₀ ;

 - излучательная способность тела;

 - постоянная Стефана - Больцмана.

На основании всего сказанного выше можно записать выражение для плотности потока излучения :

. ( 5 )

Тогда мощность теплового источника

, ( 6 )

где l₀ - длина нагревательного элемента.

Будем исходить из того, что температурное поле внутри объекта подчиняется известному уравнению теплопроводности :

, ( 7 )

где T - температура объекта.

Наиболее общие граничные условия (процесс нагревания), учитывающие как конвективный так и лучистый теплообмен можно записать в виде:

; ( 8 )

; ( 9 )

; ( 10 )

где q₁, q₂ - плотность потока лучистой энергии, исходящий из объекта (процесс лучистого охлаждения).

Q₁, Q₂ - плотность потока лучистой энергии, падающей на объект (процесс лучистого нагрева от нагревательных элементов).

Q₀ - плотность потока лучистой энергии от стенок печи;

 - коэффициент поглощения излучения материалом объекта ;

 - коэффициент теплообмена между греющей средой и объектом; T_c - температура окружающей cреды ;

T_s - температура поверхности объекта.

Следует заметить, что и в стационарном режиме при u_ij = const, и при релейном законе управления интенсивность теплового излучения нагревательным элементом больше, чем интенсивность излучения стенкой печи. Избыток тепловой мощности обеспечивает компенсацию потерь тепла печью в установившемся режиме и создает запас мощности для реализации необходимого диапазона регулирования температуры печи.

Для случая, когда объект можно отнести к тонкому в теплофизическом смысле слова телу, т.е. при критерии

( 11 )

температура внутри объекта и на его поверхности есть функция

только длины и времени [2].

Для длинномерных объектов в большинстве случаев можно рассматривать среднюю по сечению объекта температуру

. ( 12 )

Если проинтегрировать уравнение ( 7 ) по сечению объекта, то получаем уравнение для средней температуры в виде :

. ( 13 )

Поскольку r₀ нагревательного элемента практически на два порядка меньше расстояния от него до объекта, то можно принебречь его диаметром и считать точечным.

Tепловой поток лучистой энергии от точечных нагревательных элементов, падающий на элемент поверхности объекта, обратно пропорционален квадрату расстояния до точки поверхности, тогда распределение нормальной составляющей потока излучения по поверхности объекта [3] будет иметь вид :

( 14 )

где h - расстояние от линии расположения нагревательных элементов до поверхности объекта ;

r_ij - расстояние от нагревательного элемента с координатой x_ij до точки поверхности объекта с координатой x ,

; ( 15 )

x_{ij -} координата соответствующего нагревательного элемента.

Отток лучистой энергии от объекта определяется законом Стефана - Болцмана и записывается в виде :

; ( 16 )

, ( 17 )

где ₁ - излучательная способность материала объекта.

Следует заметить, что сумма q_{1 +} q₂ может быть выражена через среднюю температуру объекта :

. ( 18 )

Оценка фонового излучения может составить отдельную достаточно сложную задачу.

Учитывая, что длина объекта, как правило, соизмерима с глубиной печи, то можно предположить, что фоновый поток, падающий от стенок печи на объект однороден и его плотность определяется законом Стефана - Больцмана:

, ( 27 )

где ₂ - излучающая способность стенок печи;

k - коэффициент приведения плотности потока излучения стенок печи к поверхности объекта.

Учитывая малое по отношению к постоянной времени печи время термообработки (t = 15 ... 20 мин), а также полагая, что внесение изделия в печь не приводит к сколь нибудь существенному изменению ее температурного поля, можно рассматривать стационарный случай. Наиболее интересна задача с включенными нагревательными элементами. Она позволяет проверить выдвинутые ранее гипотезы, поскольку при релейном законе управления в периоды, соответствующие выключенному состоянию нагревательных элементов, температурное поле печи определяется фоновым излучением ее стенок, которое отличается хорошей равномерностью.

Тогда для стационарного режима уравнение для объекта примет вид :

( 29 )

С граничными условиями :

В данном случае имеет место нелинейная задача. Численное моделирование ( 29 ) показало, что неравномерность температурного поля

при наличии расброса параметров нагревательных элементов имеет место и может достигать 8% ... 10% , что является недопустимым по технологическим требованиям. Существенное влияние на нее оказывает технологический разброс характеристик нагревательных элементов и неравномерность фонового теплового потока от стенок печи в установившемся режиме, а также отношение расстояния между нагревательными элементами в ряду ( D ) и расстоянием от них до объекта ( h ). Если ввести отношение плотности потоков в виде:

,

то, например, при заданном конструктиве D/h=0.5 и при =0,2 , , а при = 0,05 , . Это эквивалентно влиянию режима печи, т.е. требуемой температуры стабилизации на неравномерность поля. Она тем выше, чем ниже требуемая температура стабилизации по отношению к максимально возможной температуре печи.