Примеры решения задач / 1. Физические основы механики

Физические основы механики

Пример 1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением s = 6t³ + 3t + 2. Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную пути от времени:

υ = ds/dt; υ = 18t² + 3.

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

a = dυ/dt = d²s/dt²; a = 36t.

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F = ma, где а, согласно условию задачи, – ускорение в конце второй секунды. Тогда

F = m36t; F = 1 кг∙36∙2 м/с² = 72 Н.

Ответ: υ = 18t² + 3; a = 36t; F = 72 Н.

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = A + Bt + Ct², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = –2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (см. рис.):

.

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

. (1)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а_τ = εr; а_n = ω²r,

где ω – модуль угловой скорости тела; ε – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения а_τ и а_n в формулу (1), находим:

. (2)

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

ω = dφ/dt = B + 2Ct.

В момент времени t = 4 c модуль угловой скорости

ω = [20 + 2(–2)4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

ε = dω/dt = 2C = –4 рад/с².

Подставляя значения ω, ε и r в формулу (2), получаем

а = 0,1 м/с² = 1.65 м/с².

Ответ: а = 1.65 м/с².

Пример 3. Ящик массой m₁ = 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l = 2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂ = 80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость u тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом α = 30° к рельсам.

Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внешние силы: силы тяжести m₁g и m₂g и сила реакции N₂ (см. рис.). Поэтому применить закон сохранения импульса к системе «ящик – тележка» нельзя. Но так как проекции указанных выше сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянн ой,

т. е.

р_1х + р_2х = р'_1х + р'_2х, (1)

где р_1х и р_2х – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; р'_1х и р'_2х – те же величины после падения ящика.

Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р_2х = 0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью u:

m₁υ_1x = (m₁ + m₂)u

или

m₁υ₁cos α = (m₁ + m₂)u,

где υ₁ – модуль скорости ящика перед падением на тележку; υ_1x = = υ₁cos α – проекция этой скорости на ось х.

Отсюда u = m₁υ₁cos α/(m₁ + m₂). (2)

Модуль скорости υ₁ определим из закона сохранения энергии:

,

где h = lsin α, откуда

.

Подставив выражение для υ₁ в формулу (2), получим:

.

После вычислений найдем:

Ответ: u = 0.767 м/с.

Пример 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой М и длиной L. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь.

Решение. Систему «человек – лодка» относительно горизонтального направления можно рассматривать как замкнутую. Согласно следствию из закона сохранения импульса внутренние силы замкнутой системы не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе «человек – лодка», можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем расстоянии от берега.

Пусть центр масс системы «человек – лодка» находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку С₁ лодки (см. рис.), а после перемещения лодки – через другую ее точку С₂. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра масс О лодки.

Как видно из рисунка, в начальный момент точка О находится на расстоянии а₁ слева от вертикали, а после перехода человека – на расстоянии а₂ справа от вертикали. Следовательно, искомое перемещение лодки

s = a₁ + a₂.

Для определения а₁ и а₂ воспользуемся тем, что результирующий момент сил, действующих на систему относительно горизонтальной оси, перпендикулярной продольной оси лодки, равен нулю. Поэтому для начального положения системы

Mga₁ = mg(l – a₁), откуда

а₁ = ml/(M + m).

После перемещения лодки Mgd₂ = mg(L – d₂ – l), откуда

a₂ = m(L – l)/(M + m).

Подставив полученные выражения а₁ и а₂ в (1), найдем

, или .

Пример 5. На двух шнурах одинаковой длины l = 0.8 м, подвешены два свинцовых шара массами m₁ = 0.5 кг и m₂ = 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α = 60°, и отпустили. На какую высоту h поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию ΔE, израсходованную на деформацию шара при ударе.

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью υ. Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид:

m₁υ₁ + m₂υ₂ = (m₁ + m₂)υ. (1)

Здесь υ₁ и υ₂ – скорости шаров до удара. Скорость большего шара до удара равна нулю (υ₂ = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: m₁gh₁ = m₁υ₁²/2. Так как h₁ = = l(1 – cos α) = 2lsin²(α/2), то

. (2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

. (3)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:

где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим h = υ²/(2g), или с учетом (3):

;

h = 2(0.5 кг)² ∙ 0.8 м ∙ 0.25/(0.5 кг + 1 кг)² = 0.044 м.

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:

.

Используя уравнения (2) и (3), получаем:

.

Проверим, дает ли полученная формула единицу энергии:

[g] [l] [m] = 1 м/с² ∙ 1 м ∙ 1 кг = 1 Дж.

ΔE = 2 ∙ 9.81 м/с² ∙ 0.8 м ∙ 0.5 кг (1 – 0.5 кг/1.5 кг) ∙ 0.25 = 1.3 Дж.

Ответ: ΔE = 1.3 Дж.

Пример 6. Молот массой m₁ = 70 кг падает с высоты h = 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием m₂ = 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию E, расходуемую на деформацию изделия. Систему «молот – изделие – наковальня» считать замкнутой.

Решение. По условию задачи система «молот – изделие – наковальня» считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:

, (1)

где υ – скорость молота в конце падения с высоты h; υ' – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле:

. (2)

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения:

. (3)

Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид , откуда

υ' = m₁υ/(m₁ + m₂). (4)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим:

;

Е = 70 кг ∙ 9.8 м/с² ∙ 5 м ∙ (1330 кг/(1330 кг + 70 кг)) = 3258 Дж.

Ответ: Е = 3258 Дж.

Пример 7. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему «пружина – пуля». Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия Е₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

Е₁ = Е₂, или Е_1к + Е_1п = Е_2к + Е_2п, (1)

где Е_1к, Е_2к, Е_1п, Е_2п – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид:

Е_1п = Е_2п. (2)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. Е_1п = kx²/2, а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т. е. Е_2п = mgh.

Подставив выражения Е_1п и Е_2п в формулу (2), найдем kx²/2 = mgh, откуда

k = 2 mgh/x².

Подставив в формулу (3) значения величин и размерностей, произведем вычисления:

Ответ: k = 196 Н/м.

Пример 8. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80 г (см. рис.), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁ = = 100 г и m₂ = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

m₁g – T₁ = – m₁a; (1)

для второго груза

m₂g – T₂ = m₂a. (2)

Под действием моментов сил Т₁' и Т₂' относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение ε. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

Т₂'r – Т₁'r = J_zε, (3)

где ε = a/r; J_z = mr²/2 – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона с учетом невесомости нити Т₁' = Т₁, Т₂' = Т₂. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо Т₁' и Т₂' выражения Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

(m₁g – m₂a)∙r – (m₁g + m₁a)r = mr²a/(2r).

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем:

.

Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение в единицах СИ. После подстановки числовых значений и размерностей в формулу (4) получим:

.

Ответ: а = 2.88 м/с².

Пример 9. Маховик массой m = 4 кг вращается с частотой n = 720 мин^–1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом R = 40 см. Через Δt = 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент М и число оборотов N, которое сделает маховик до полной остановки.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

JΔω = MΔt, (1)

где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; Δω – изменение угловой скорости за промежуток времени Δt.

По условию Δω = –ω₀, где ω₀ – начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ω = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда ω₀ = 2πn и Δω = 2πn. Момент инерции маховика J = mR², где m – масса маховика; R – его радиус. Формула (1) принимает вид:

,

откуда

;

М = 2 ∙ 3,14 ∙ 12 с^–1 ∙ 4 кг ∙ 0,16 м²с^–2/30 с = 1,61 Н ∙ м.

Угол поворота (т.е. угловой путь φ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

, (2)

где ε – угловое ускорение. По условию ω = ω₀ – εΔt, ω = 0, εΔt = ω₀. Тогда выражение (2) можно записать так:

φ = ω₀Δt – ω₀Δt/2 = ω₀Δt/2.

Так как φ = 2πN, ω₀ = 2πn, то число полных оборотов

N = nΔt/2; N = 12 c^–1 ∙(30 c)/2 = 180.

Ответ: N = 180.

Пример 10. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1.5 м и массой m₁ = 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n = 10 мин^–1. В центре платформы стоит человек m₂ = 60 кг. Какую линейную скорость υ относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция L_z момента импульса системы «платформа-человек» остается постоянной:

L_z = J_zω = const, (1)

где J_z – момент инерции платформы с человеком относительно оси z; ω – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии J_z = J₁ + J₂, а в конечном состоянии J'_z = J'₁ + J'₂.

С учетом этого равенство (1) примет вид:

(J₁ + J₂)ω = (J'₁ + J'₂)ω', (2)

где значения моментов инерции J₁ и J₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; J'₁ и J'₂ – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: J₁ = J'₁ = m₁R²/2. Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J₂ в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J'₂ = m₂R².

Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ω = 2πn) и конечной угловой скорости (ω' = υ/R, где υ – скорость человека относительно пола):

(m₁R²/2 + 0) 2πn = (m₁R²/2 + m₂R²)υ/R.

После сокращения на R² и простых преобразований находим скорость:

υ = 2πnRm₁/(m₁ + 2m₂).

Произведем вычисления:

Ответ: υ = 1 м/с.

Пример 11. Стержень длиной l = 1.5 м и массой М = 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис.). В середину стержня ударяет пуля массой m = 10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью υ₀ = 500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол φ отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями. В момент удара на пулю и на стержень действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень будет справедлив закон сохранения импульса.

В начальный момент удара угловая скорость стержня ω₀ = 0, поэтому его момент им-пульса L₀₁ = Jω₀ = 0. Начальный момент импульса пули L₀₂ = = mυ₀r, где r – расстояние от точки попадания до оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую скорость ω, а пуля – линейную скорость υ, равную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянии r от оси вращения. Так как υ = ωr, то конечный момент импульса пули L₂ = mυr = mr²ω.

Применив закон сохранения импульса, можем написать:

L₀₁ + L₀₂ = L₁ + L₂ или mυ₀r = Jω + mr²ω,

откуда

где J = Ml²/3 – момент инерции стержня. Отсюда получим:

(1)

Кинетическая энергия стержня после удара равна:

Е_к = Jω²/2, (2)

Затем стержень поворачивается на искомый угол φ, причем центр масс его С поднимается на высоту h = (l/2)(1 – cos φ). В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией, равной

Е_п = Mg(l/2)(1 – cos φ). (3)

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим:

Mg(l/2)(1 – cos φ) = Jω²/2.

Отсюда

сos φ = 1 – Jω²/(Mgl).

Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня J = Ml²/3, получим

сos φ = 1 – lω²/(3g). (4)

Подставив значение ω = 0.5 рад/с, найденной из (1), получим cos φ = 0.987; φ = 9°20'.

Ответ: ω = 0.5 рад/с; cos φ = 0.987; φ = 9°20'.