Типовой расчет №2

Вычисление выборочных характеристик статистического ряда распределения

Для вычисления средней арифметической, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса рекомендуется следующий порядок вычислений.

Заменяем интервальный ряд дискретным для чего, все значения признака в пределах интервала приравниваем к его срединному значе­нию, и считаем, что частота относится к середине интервала. Значе­ния середин интервалов равны =(+)/2.

Для удобства вычислений целесообразно составить вспомогательную таблицу 1.3. Значения середин интервалов заносят в графу I, соот­ветствующие частоты в графу 2 и т.д.

В таблице ∆i = (-)

Пользуясь таблицей 1.3, вычислим выборочную среднюю арифметическую:

=.

В нашем примере = 5,4426 млн.руб. и характеризует среднее положение наблюдаемых значений.

Выборочный центральный момент k-го порядка равен:

.

Таблица 1.3

Вспомогательная таблица для вычисления выборочных характеристик

1	2	3	4	5	6	7	8
5.04 5.15 5.26 5.37 5.48 5.59 5.70 5.81 5.92	1 8 7 34 26 13 5 5 1	5.04 41.20 36.82 182.58 142.48 72.67 28.50 29.05 5.92	-0,4026 -0,2926 -0,1826 -0,0726 0,0374 0,1474 0,2574 0,3674 0,4774	-0,4026 -2,3408 -1,2782 -2,4684 0,9724 1,9162 1,2870 1,8370 0,4774	0,16209 0,68492 0,23340 0,17921 0,03637 0,28245 0,33127 0,67491 0,22791	-0,06525 -0,20040 -0,04261 -0,01301 0,00136 0,04163 0,08526 0,24796 0,10880	0,02627 0,05863 0,02593 0,00094 0,00005 0,00614 0,02194 0,09110 0,05194
	100	544.26	-0,4048	0	2,80526	0,16374	0,28294

Для проверки правильности вычисления должно выполняться равенство:

В нашем примере тождество выполняется. В итоговой строке столбца 4 табл.1.3 имеем 0

В данном примере μ₂ =0,028, μ₃=0,00164, μ₄= 0,00283.

Выборочная дисперсия равна центральному моменту второго порядка:

=μ₂

В нашем примере = 0,028. а выборочное среднее квадратическое отклонение S=√S²= 0,167 млн.руб.

Выборочные коэффициенты асимметрии А_с и эксцесса Е_к опре­деляются по формулам

А_с =;

А_с = 0,0586

Е_к = -3

Е_{к= 3,6-3=0,6}

Медиана М_е - значение признака x , приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. При четном числе наблюдений медианой М_е является средняя арифмети­ческая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:

М_е=

Если ранжировать значения, попавшие в медианные интервал [5,43;5,54], – интервал, в котором накопленная частота m_H впервые превышает половину объема выборки = 50, – до значениеи, получим

Следовательно, М_е =(млн.руб.).

Если исходить из интервального ряда, то медиану следует вычислять по формуле

М_е

где М_е означает номер медианного интервала, (М_е-1) - интерва­ла, предшествующего медианному.

В нашем примере М_е = 5,43+ = 5,43+0=5,43 млн.руб.

Мода М_о для совокупности наблюдений равна тому значению признака (табл.1.1), которому соответствует наибольшая частота.

У нас вариант 5,43 имеет наибольшую частоту (m=34). Это оз­начает, что М_о =5,43 млн.руб.

Для одномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле:

М_о =

Где означает номер модального интервала (интервала с наиболь­шей частотой),-1 и +1 – номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов. В нашем примере

= 5,32 +

Так как , и М_е почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Коэффициент вариации:

=100%=3,07%.

Коэффициент вариации используют для характеристики того, насколько средняя арифметическая хорошо представляет статистический ряд распределения. Если ряды имеют одинаковые средние, то средняя арифметическая ряда с меньшим коэффициентом вариации более предпочтительна. Будучи безразмерным, удобен для сравнений рядов распределения.