Иваньо Я.М. Тулунова Е.С. Практикум по гидрологии

Напомним, что по содержанию параметры cv и σ идентичны. Отличие заключается только в том, что коэффициент вариации является величиной безразмерной. Поэтому он более удобен при сравнении статистик выборок физически разных случайных величин.

Формула расчета средней квадратической погрешности коэффициента

вариации для гамма-распределения отличается от выражения (5.12):

В завершении краткого обзора формул определения погрешностей статистик отметим, что применяются, по крайней мере, два метода их построения: теоретический и статистического моделирования. Здесь приведены только основные выражения, из которых (5.10) используется в прикладной программе MS Excel. Формулы (5.10)-(5.14) позволяют оценивать абсолютные средние квадратические погрешности. Для расчета относительных значений применяются соотношения:

Следует помнить, что изложенная теория применяется для выборок с

независимыми друг от друга значениями. Для связанных чисел ряда применяются иные модели оценок статистик и их погрешностей.

Для реализации алгоритма можно использовать прикладные программы:

Statisticа, SPSS, MS Excel и др.

Если известна функция распределения описывающая расход воды, то можно определить расход воды заданной вероятности распределения,

51

например при вероятности превышения (Р=85%). Приведем формулы определения годового стока для нормального закона и закона гамма-

распределения:

нормального закона и закона гамма-распределения. Поскольку обе функции

распределения реализованы в Excel не трудно с помощью этого табличного процессора найти значения К85н и К85г.

=НОРМОБР(1-0,85;1;Сv), (5.20) =ГАММАОБР(1-0,85;1/Cv^2;Cv^2). (5.21)

Понятно, что в приведенных функциях вместо символа Сv необходимо вводить значение коэффициента вариации.

При недостаточности данных наблюдений (короткие ряды) для расчета годового стока используется метод аналогии. В качестве реки-аналога принимается водоток, бассейн которого в физико-географическом отношении является сходным с бассейном рассматриваемой реки. Физико-географическая

уравнение регрессии считается удовлетворительным для восстановления значений расхода воды короткого ряда. В приведенных условиях R –

52

отклонения исходного ряда и ряда реки-аналога.

С помощью уравнения регрессии можно увеличить исходный ряд наблюдений до N, используя расходы воды реки-аналога. При этом следует

учитывать разброс точек относительно уравнение регрессии

статистические параметры ряда по формулам (5.1)-(5.4), на основании которых строят определенную функцию распределения и находят расход воды,

соответствующий заданной вероятности превышения.

При отсутствии данных наблюдений используются карты изолиний,

описывающие изменчивость статистических параметров региона. При расчетах статистических параметров, как правило, используют карты норм модулей стока ( q ) и коэффициентов вариации (cv). Зная значения этих параметры q , cv

снятых с карт, нетрудно определить расход воды с заданной вероятностью превышения для гамма-распределения, обладающего свойством сs=2cv.

Напомним, что Q 1000qF .

Очевидно, что в этом случае точность расчетов годового стока наблюдений зависит от точности карт нормы модуля стока и коэффициента вариации.

Приведем примеры расчета годового стока при наличии, недостаточности и отсутствии наблюдений.

Пример выполнения задания

53

Определение годового стока реки при наличии данных

Исходные данные: среднегодовые расходы воды реки Ия у г. Тулун по данным наблюдений за 47 лет.

Требуется: 1) построить эмпирическую и аналитические функции распределения (нормальный и гамма-распределения); 2) выбрать приемлемый закон распределения согласно критерию χ2, или Колмогорова; 3) определить расход воды с вероятностью превышения Р=75%.

Порядок выполнения задания

1. В первом и втором столбце таблицы 5.1 приведены годы (n=47 лет) и среднегодовой расход воды реки Ия.

Таблица 5.1 - Вычисление эмпирической обеспеченности среднегодовых расходов воды реки Ия г. Тулун

54

2.В третьем столбце приведены порядковые номера среднегодового расхода реки.

3.В четвертом столбце рассчитываем модульные коэффициенты Ki= QQi ,

где Q – значение среднегодового расхода воды, Q - среднее значение ряда,

которое предварительно рассчитывается по значениям столбца 2. В данном

5.В столбце 6 представлены значения Q, м3/с, которые располагаются в порядке убывания.

6.По данным эмпирической вероятности превышения Pi, и

ранжированному ряду Q, м3/с строится эмпирическая функция распределения среднегодовых расходов воды реки (рисунок 5.1.)

55

7. По среднегодовым расходам воды на основании формул (5.1), (5.2.) и (5.4) с помощью MS Excel (описательная статистика) получены статистические параметры годового стока (таблица 5.2).

Таблица 5.2 - Статистические параметры годового стока реки Ия г. Тулун

В дополнение к этим параметрам рассчитываются коэффициент вариации

Сv по формуле (5.3).

8. Помимо статистических параметров рассчитывается стандартные погрешности среднего значения, коэффициента вариации и коэффициента асимметрии по формулам (5.10), (5.13) и (5.14):

Для определения относительных значений погрешностей статистических параметров (5.15)-(5.17) необходимо полученные результаты разделить на значение параметров ( Q , Сv, Сs)

ЕQ 3,83153 100 2,5 %,

Cs 0,45

Полученные результаты показывают, что наибольшей погрешностью обладает параметр Сs, а наименьшее среднее значение Q .

Таблица 5.3 – Расчет параметров аналитической кривой обеспеченности среднегодовых расходов воды реки Ия г. Тулун

57

9. Аналитические функции распределения вероятностей среднегодовых расходов воды строим, используя нормальный закон и гамма-распределение.

Расчетное значение функции распределения нормального Рн и гамма-

распределения Рг приведены в 5 и 6 столбце таблицы 5.3, а остальные данные в убывающем порядке перенесены из таблицы 5.1.

Для определения Рн и Рг использованы функции табличного процессора

MS Excel:

=(1-НОРМРАСП (Кр;1;Сv;1))*100, =(1-ГАММАРАСП (Кр;1/Сv^2; Сv^2;1))*100.

В приведенных функциях Кр представляет собой ячейку со значением модульного коэффициента (Кр=1,51; Кр=1,37… … Кр=0,65), Сv - коэффициент вариации (0,17).

10. По данным столбцов (3-6) строим эмпирическую и аналитические функции распределения (рисунок 5.2).

58

11. Расход воды обеспеченностью 75% при нормальном законе

распределения и при законе гамма-распределения рассчитывается по формулам

(5.18) и (5.19).

Таблица 5.4 – Выбор значимого закона распределения вероятности реки Ия г. Тулун

59

Значения К75н, К75г получают при помощи Excel, применив функции

12. Согласно таблице 5.4 определяется максимальное значение расхождения между вероятностями распределения (столбец 4 и 5). По максимальному значению расхождения (Д) определяется эмпирическое значение критерия Колмогорова для нормального закона и гамма-распределения.

Д n

н=6,066*КОРЕНЬ(47)=0,45

г=0,061*КОРЕНЬ(47)=0,41.

Для уровня значимости α по таблице 5.5 получаем теоретические значение . Так для уровня значимости табличное значение составляет

1,358.

Таблица 5.5 - Критические значения для распределения Колмогорова

Согласно полученным результатам оба значения соответствуют, между тем учитывая асимметричность значения 0,45 (табл 5.1) гамма-распределение большей степени соответствует эмпирическим значениям.

Определение годового стока реки при недостаточности данных

60